空间点、直线、平面之间的位置关系

定义

公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

作用：判定直线是否在平面内。

公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论 1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论 2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论 3：过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

作用：判定两平面相交，证明点共线。

空间两直线的位置关系

位置关系	是否共面	公共点数	记法
相交	共面	1 个	$a\cap b=A$
平行	共面	0 个	$a\parallel b$
异面	不共面	0 个	—

异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。判定关键是「既不相交也不平行」。

直线与平面的位置关系

位置关系	公共点数	记法
直线在平面内	无数个	$a\subset \alpha$
直线与平面相交	1 个	$a\cap \alpha =A$
直线与平面平行	0 个	$a\parallel \alpha$

直线在平面外（$a\not\subset \alpha$）包含「相交」和「平行」两种。

两个平面的位置关系

位置关系	公共点	记法
平行	无公共点	$\alpha \parallel \beta$
相交	一条公共直线	$\alpha \cap \beta =l$

典例精析

例 1（异面判断） 在长方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，棱 $AB$ 与棱 $C{C}^{\prime }$ 不相交，且方向不平行（不共面），故为异面直线。

例 2（线面关系） 若 $a\parallel \alpha$，则 $a$ 与 $\alpha$ 内直线 $b$ 的关系只能是平行或异面，不可能相交（否则 $a$ 与 $\alpha$ 有公共点，矛盾）。

例 3（共面证明） 已知 $a\parallel b$，$c$ 与 $a$、$b$ 分别交于 $A$、$B$。由推论 3，$a$、$b$ 确定平面 $\alpha$；又 $A\in a\subset \alpha$，$B\in b\subset \alpha$，由公理 1，$c\subset \alpha$。故 $a$、$b$、$c$ 共面。

对比

关系对	情形数	有无「异面/平行」之分
两直线	3（相交/平行/异面）	有，异面是空间特有
线与面	3（在面内/相交/平行）	—
两平面	2（平行/相交）	无异面概念