棱锥与棱台：结构特征、侧面积与体积

定义

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。多边形面叫底面，三角形面叫侧面，公共顶点叫顶点，顶点到底面的距离叫高。

底面是正多边形，且顶点在底面的投影是底面中心的棱锥叫正棱锥，其侧面都是全等的等腰三角形。

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。截面叫上底面，原棱锥底面叫下底面，两底面间的距离叫高。

棱台的上、下底面是相似多边形，各侧棱延长后交于一点。

表面积与体积

几何体	侧面积	体积
棱锥	各侧面面积之和	$V=\frac{1}{3}Sh$
正 $n$ 棱锥	$S_{侧}=\frac{1}{2}na{h}^{\prime }$（$h^{\prime }$ 斜高）	$V=\frac{1}{3}Sh$
棱台	各侧面面积之和	$V=\frac{1}{3}h(S+S^{\prime }+\sqrt{S{S}^{\prime }})$

其中 $S$ 为下底面积，$S^{\prime }$ 为上底面积，$h$ 为高。

典例精析

例 1（正四棱锥体积） 正四棱锥底面正方形边长为 3（底面积 $S=9$），高 $h=4$，则

$$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 9\times 4=12.$$

例 2（正三棱锥侧面积） 正三棱锥底面边长为 2，斜高 $h^{\prime }=3$，则底面周长 $na=3\times 2=6$，

$$S_{侧}=\frac{1}{2}\times 6\times 3=9.$$

例 3（棱台体积） 棱台上底面积 $S^{\prime }=4$，下底面积 $S=9$，高 $h=6$，则

$$V=\frac{1}{3}\times 6\times (4+9+\sqrt{36})=2\times (13+6)=38.$$

对比

几何体	底面数	侧面形状	体积系数
棱柱	2（平行全等）	平行四边形	$Sh$
棱锥	1	三角形（共顶点）	$\frac{1}{3}Sh$
棱台	2（平行相似）	梯形	$\frac{1}{3}h(S+S^{\prime }+\sqrt{S{S}^{\prime }})$