椭圆的定义与标准方程：焦点、焦距与离心率

定义

平面内与两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之和等于常数（大于 $|F_1{F}_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。两定点叫焦点，两焦点间距离 $|F_1{F}_2|=2c$ 叫焦距。

设动点为 $P$，则

$$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a(2a>2c).$$

标准方程

取两焦点中点为原点，$F_1{F}_2$ 所在直线为坐标轴。

焦点位置	标准方程	焦点坐标	$a,b,c$ 关系
$x$ 轴	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）	$(\pm c,0)$	$c^2=a^2-b^2$
$y$ 轴	$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（$a>b>0$）	$(0,\pm c)$	$c^2=a^2-b^2$

离心率：$e=\frac{c}{a}$，且 $0<e<1$。$e$ 越小椭圆越圆，越接近 1 越扁。

典例精析

例 1（由方程求参数） 椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 中，$a^2=16$，$b^2=9$，故 $a=4$，$b=3$。

$$c^2=a^2-b^2=16-9=7\Rightarrow c=\sqrt{7}.$$

焦点在 $x$ 轴上（因 $a>b$），坐标为 $(\pm \sqrt{7},0)$，离心率 $e=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

例 2（由条件求方程） 已知椭圆焦点在 $y$ 轴，$F_1(0,-5)$，$F_2(0,5)$，且 $a=13$。则 $c=5$，

$$b^2=a^2-c^2=169-25=144,$$

标准方程为

$$\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1.$$

对比

圆锥曲线	距离关系	$a,b,c$ 关系	离心率
椭圆	$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$	$c^2=a^2-b^2$	$0<e<1$
双曲线	$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$	$c^2=a^2+b^2$	$e>1$
抛物线	$|PF|=d$（到准线距离）	—	$e=1$

给家长的讲法

用两枚图钉、一根细绳和一支笔，在硬纸板上画椭圆：绳的两端固定在图钉上，笔尖绷紧绳子绕一圈。让孩子换几个位置量笔尖到两枚图钉的距离之和，结果都一样；再把图钉挪近，椭圆变圆。三分钟画一个，孩子会牢牢记住那个不变的「和」。一句话可复述：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和都等于同一个常数。

课堂提示

• 本页难点：定义中 $2a>2c$ 的条件，以及 $a,b,c$ 三者的关系。
• 一句提问：如果绳长正好等于两枚图钉的距离，画出来的是什么？
• 板书/操作：用两枚图钉和一根绳当场画椭圆，边画边标出 $2a$ 与 $2c$。