双曲线的定义与标准方程：焦点、渐近线与离心率

定义

平面内与两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（小于 $|F_1{F}_2|$ 且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线。两定点叫焦点，焦距 $|F_1{F}_2|=2c$。

$$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a(0<2a<2c).$$

标准方程

焦点位置	标准方程	焦点坐标	$a,b,c$ 关系	渐近线
$x$ 轴	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$(\pm c,0)$	$c^2=a^2+b^2$	$y=\pm \frac{b}{a}x$
$y$ 轴	$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$	$(0,\pm c)$	$c^2=a^2+b^2$	$y=\pm \frac{a}{b}x$

离心率：$e=\frac{c}{a}>1$。

典例精析

例 1（由方程求参数） 双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 中，$a^2=9$，$b^2=16$，故 $a=3$，$b=4$。

$$c^2=a^2+b^2=9+16=25\Rightarrow c=5.$$

焦点在 $x$ 轴（$x^2$ 项为正），坐标 $(\pm 5,0)$，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x$，离心率 $e=\frac{5}{3}$。

例 2（由条件求方程） 焦点在 $y$ 轴，$F_1(0,-5)$，$F_2(0,5)$，$a=3$。则 $c=5$，

$$b^2=c^2-a^2=25-9=16,$$

方程为

$$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1,$$

渐近线 $y=\pm \frac{a}{b}x=\pm \frac{3}{4}x$。

对比

项目	椭圆	双曲线
距离关系	和为 $2a$	差的绝对值为 $2a$
$c^2$ 与 $a^2,b^2$	$c^2=a^2-b^2$	$c^2=a^2+b^2$
离心率	$0<e<1$	$e>1$
渐近线	无	有两条

给家长的讲法

在纸上画两个点，让孩子用尺子量到两点的距离并相减，把差为 3 厘米的点一个个标出来。标上十几个，他会发现这些点连成两条向外张开的曲线，而不是一条封闭的线。再问他：差为 0 的点在哪里？正好是两点连线的垂直平分线。三分钟标一轮。一句话可复述：双曲线是到两个定点距离之差保持不变的点的集合，所以它分成两支。

课堂提示

• 本页难点：定义中的绝对值，以及 $c^2=a^2+b^2$ 中 $c$ 最大这一点。
• 一句提问：去掉定义里的绝对值，轨迹会变成什么？
• 板书/操作：画双曲线两支与渐近线，用彩色粉笔标出实轴、虚轴与 $c$。