相似多边形

定义

两个边数相同的多边形，如果对应角相等、对应边成比例，就称这两个多边形相似。对应边的比叫相似比（相似系数），记作 $k$。

相似的记号与相似三角形一致：多边形 $ABCDE\backsim$ 多边形 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }$，书写时对应顶点顺序必须一致。

性质：

• 对应角相等，对应边成比例（比值为 $k$）；
• 周长比等于相似比：$C:C^{\prime }=k$；
• 面积比等于相似比的平方：$S:S^{\prime }=k^2$。

推导

周长比：设两相似多边形对应边为 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 与 $a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_n^{\prime }$，由对应边成比例：

$\frac{a_1}{a_1^{\prime }}=\frac{a_2}{a_2^{\prime }}=\cdots =\frac{a_n}{a_n^{\prime }}=k$

故 $a_i=k{a}_i^{\prime }$，由等比性质（或直接提取公因式）：

$\frac{C}{C^{\prime }}=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{a_1^{\prime }+a_2^{\prime }+\cdots +a_n^{\prime }}=\frac{k(a_1^{\prime }+\cdots +a_n^{\prime })}{a_1^{\prime }+\cdots +a_n^{\prime }}=k$

周长比等于相似比。$■$

面积比：把两个多边形按对应顶点作同样的对角线剖分，各自分成个数相同、位置对应的三角形。对应三角形由两边成比例、夹角对应相等（SAS）判定相似，相似比均为 $k$，故每对对应小三角形的面积比都是 $k^2$（相似三角形面积比等于相似比的平方）。设小三角形面积依次为 $S_1,\dots ,S_m$ 与 $S_1^{\prime },\dots ,S_m^{\prime }$，则

$\frac{S}{S^{\prime }}=\frac{S_1+\cdots +S_m}{S_1^{\prime }+\cdots +S_m^{\prime }}=\frac{k^2{S}_1^{\prime }+\cdots +k^2{S}_m^{\prime }}{S_1^{\prime }+\cdots +S_m^{\prime }}=k^2$

面积比等于相似比的平方。$■$

两个条件缺一不可（反例）：

• 矩形：任意两矩形四角都是直角（角条件满足），但 $2\times 6$ 与 $3\times 4$ 的邻边比 $\frac{2}{3}\ne \frac{6}{4}$，边不成比例，不相似；
• 菱形：任意两菱形四边比统一（边条件形式满足），但一个内角 $60^{\circ }$、另一个 $80^{\circ }$ 时对应角不等，不相似。

典例精析

例 1（比例尺换算）在比例尺 $1:10000$ 的地图上，一块多边形地块的图上周长为 $18$ 厘米、面积为 $20$ 平方厘米，求实际周长与面积。

相似比（图比实）为 $\frac{1}{10000}$。实际周长：

$18\times 10000=180000\text{ 厘米}=1800\text{ 米}$

面积比为 ${\left(\frac{1}{10000}\right)}^2$，实际面积：

$20\times 10^8=2\times 10^9\text{ 平方厘米}=200000\text{ 平方米}$

例 2（判断是否相似）判断两个四边形是否相似：四边形 $ABCD$ 四角都是 $90^{\circ }$，四边依次为 $2$、$6$、$2$、$6$；四边形 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 四角也都是 $90^{\circ }$，四边依次为 $3$、$4$、$3$、$4$。

两四边形四角都对应相等（都是直角），但对应边之比不统一：

$\frac{2}{3}\ne \frac{6}{4}$

即对应边不成比例，故不相似。这是「矩形不一定相似」的典型反例：角条件满足，边条件不满足。

结论：相似必须角、边两条同时满足，缺一不可。只验角或只验边都会漏判。

对比

量	与相似比 k 的关系
对应线段（边、对角线、周长）	比为 k
对应角	相等（与 k 无关）
面积	比为 k²
立体相似（拓展）	表面积比 k²，体积比 k³

与其他知识的联系

• 相似三角形：相似多边形可以沿对应顶点剖分成若干对相似三角形，面积比的平方规律正是由「三角形面积比 = 相似比的平方」推广而来，三角形是多边形相似的最小单元。
• 位似图形：位似（对应点连线交于一点）得到的一定是相似多边形，位似比就是相似比，故位似多边形的周长比、面积比同样满足本页结论。
• 正多边形与圆：边数相同的正多边形一定相似（内角都相等、边比统一），这是正多边形与圆的内接/外切问题中比例计算的依据。
• 比例的基本性质：判断对应边是否成比例、由比例式求未知边，都依赖比例的基本性质（交叉相乘、等比性质）。