相似三角形的应用

定义

当待测物体的高度或两点间距离无法直接测量（大树、高楼、河宽）时，构造与被测图形相似的可测图形，利用相似三角形对应边成比例，由可测线段算出未知量。三种基本模型：

• 影长模型：物高—影长—光线构成直角三角形；
• 镜面模型：光的反射中入射角等于反射角，构造两个相似直角三角形；
• A 字（8 字）模型：利用平行线或中点构造相似三角形进行间接测量。

推导（模型原理）

影长模型：设物体 $AB\perp$ 地面，影长 $BC$；标杆 $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp$ 地面，影长 $B^{\prime }{C}^{\prime }$。同一时刻太阳光线平行，$AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$，故光线与地面夹角相等；又 $\angle B=\angle B^{\prime }=90^{\circ }$，由两角对应相等：

$△ABC\backsim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }⟹\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$

即「物高之比 = 影长之比」。测出标杆高、两个影长，未知物高即可求。$■$

镜面模型：在地面点 $O$ 放平面镜，人退到 $D$ 处恰在镜中看到树顶 $A$，眼高 $CD$。由反射定律 $\angle AOB=\angle COD$（入射角等于反射角），又 $\angle B=\angle D=90^{\circ }$，故 $△ABO\backsim △CDO$：

$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{DO}$

量出树到镜距离 $BO$、人到镜距离 $DO$、眼高 $CD$，即可算树高 $AB$。$■$

测距模型（A 字形）：测河宽，在岸边定 $A、B$ 两点并沿可测方向取 $AB$ 的平行基线，利用视线交点构造「平行截相似」，把跨河的不可达距离列入与岸上可测线段的比例式（典例给出数值版本）。

典例精析

影长测高：身高 1.8 米的人直立时影长 1.2 米，同一时刻旁边一棵树影长 6 米，求树高。

设树高 $h$。由物高与影长成比例：

$\frac{h}{1.8}=\frac{6}{1.2}⟹h=\frac{1.8\times 6}{1.2}=9\text{ 米}$

镜面测高（数据型）：镜子放在距树底 $BO=15$ 米处，人后退到距镜 $DO=3$ 米处恰见树顶，眼高 $CD=1.6$ 米。

$AB=CD\cdot \frac{BO}{DO}=1.6\times \frac{15}{3}=8\text{ 米}$

测距（A 字形）：估算河宽。在河对岸选定目标点 $P$，近岸取点 $Q、S$，使 $P、Q、S$ 共线且 $PS$ 垂直于河岸；过 $S$、$Q$ 分别作 $PS$ 的垂线，并在垂线上取 $T$、$R$，使 $P、R、T$ 共线。量得 $QS=45$ 米、$ST=90$ 米、$QR=60$ 米，求河宽 $PQ$。

设 $PQ=x$ 米。由 $QR\parallel ST$，$△PQR\backsim △PST$，故

$\frac{x}{x+45}=\frac{60}{90}⟹90x=60(x+45)⟹x=90$

河宽 $PQ=90$ 米。

对比

模型	相似依据	需要测量的量
影长	平行光线 + 直角	标杆高、两影长
镜面	入射角=反射角 + 直角	眼高、两段到镜距离
A 字/8 字	平行线截出相似	基线长、岸上分段
三角函数	直角三角形边角关系	仰角、水平距离（需测角仪）

与其他知识的联系

• 相似三角形的性质：本页所有测高测距最终都落在「相似三角形对应边成比例」上，是性质在现实测量中的直接应用。
• 平行线分线段成比例：A 字/8 字模型的依据正是平行线截三角形两边成比例，是构造相似测距的核心工具。
• 解直角三角形（三角函数）：测高既可走相似（影长、镜面），也可走三角函数（仰角 + 水平距离）。前者只需测长度、不需测角仪；后者需测角但更普适（阴天无影也可用）。
• 投影与视图：影长测高依赖「太阳光线是平行光线」这一平行投影的基本规律，与中心投影（路灯近大远小）形成对照。