中心对称与中心对称图形：旋转 180° 的两种说法

定义

两个图形成中心对称：如果两个图形绕某一点旋转 180° 后能够完全重合，就说这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心。

中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转 180° 后能够与自身重合，就说这个图形是中心对称图形，这个点叫它的对称中心。

两者的共同点是「旋转 180° 后重合」，区别在于对象：

• 中心对称说的是两个图形之间的关系；
• 中心对称图形说的是一个图形自身的性质。

中心对称是旋转的特例：旋转角为 180°，旋转中心就是对称中心。

性质与判定

性质：成中心对称的两个图形全等；对应点所连的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

判定：如果能找到一点 O，使图形绕 O 旋转 180° 后与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。作图时，常把每个关键点与 O 连接并延长一倍，得到对应点。

坐标系中的中心对称：

对称中心	坐标变化	例子
原点 $O(0,0)$	$(x,y)\to (-x,-y)$	$(2,-5)\to (-2,5)$
点 $C(a,b)$	$(x,y)\to (2a-x,2b-y)$	关于 $(2,1)$ 对称：$(3,4)\to (1,-2)$

关于原点对称是最常见的中心对称，但中心对称不一定以原点为对称中心。

典例精析

例 1 平行四边形是中心对称图形吗？

是。平行四边形的对角线互相平分，设对角线交点为 O，则对边上任意一点绕 O 旋转 180° 后落到它的对面顶点或对面边上，整个平行四边形与自身重合。O 就是对称中心。

例 2 点 $P(2,-5)$ 关于原点、关于点 $C(1,3)$ 对称的坐标分别是什么？

关于原点：$P\prime (-2,5)$。

关于 $C(1,3)$：设对称点为 $(x,y)$，由中点公式

$\frac{x+2}{2}=1,\frac{y-5}{2}=3$

解得 $x=0$、$y=11$，所以对称点为 $(0,11)$。

例 3 下列图形中，哪些是中心对称图形？

正方形、圆、正六边形、平行四边形、等边三角形、正五边形。

正方形、圆、正六边形、平行四边形是中心对称图形；等边三角形和正五边形不是。判断方法：绕候选中心旋转 180°，看是否与自身重合。

对比

项目	中心对称	中心对称图形
对象	两个图形	一个图形
变换方式	绕对称中心旋转 180°	绕对称中心旋转 180°
对应点	连线经过对称中心且被平分	每个点旋转 180° 后仍在图形上
全等关系	两个图形全等	图形与自身重合
例子	△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 对称	平行四边形、圆、正方形
常见错误	说成一个图形自身	说成两个图形

中心对称与轴对称的区别：

项目	中心对称	轴对称
变换方式	绕点旋转 180°	沿直线翻折
对称元素	对称中心（点）	对称轴（直线）
对应点连线	经过对称中心，被平分	被对称轴垂直平分
方向	旋转，不翻转	翻折，左右翻转
例子	平行四边形	等腰三角形、圆

常见图形的对称性

图形	是否中心对称	对称中心
平行四边形	是	对角线交点
矩形、菱形、正方形	是	对角线交点
圆	是	圆心
正六边形	是	中心
等边三角形	否	无
正五边形	否	无

课堂提示

• 本页难点：中心对称是旋转 180°，不是翻折；对称中心必须是对应点连线的中点。
• 一句提问：平行四边形绕对角线交点旋转 180° 为什么能和自身重合，而等边三角形不行？
• 板书/操作：用两张透明纸画同一个平行四边形，绕对角线交点旋转 180° 叠合；再用等边三角形做同样操作，观察不能重合。