掷一掷与两枚骰子的点数和规律

定义

掷一掷：同时掷两枚骰子，研究点数和的可能性的综合实践活动。

点数和最小是 $1+1=2$，最大是 $6+6=12$，共 11 种。但 11 个和的可能性并不相同。

算理

两枚骰子各有 6 面，组合起来共有

$6\times 6=36\text{（种）}$

等可能的结果。数一数每个和对应几种组合：

和	组合	组合数
2	$(1,1)$	1
3	$(1,2),(2,1)$	2
4	$(1,3),(2,2),(3,1)$	3
5	$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$	4
6	$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$	5
7	$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$	6
8	$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$	5
9	$(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$	4
10	$(4,6),(5,5),(6,4)$	3
11	$(5,6),(6,5)$	2
12	$(6,6)$	1

中间的和组合数多，两头的少：和是 5-9 共 $4+5+6+5+4=24$ 种，和是 2、3、4、10、11、12 共 $1+2+3+3+2+1=12$ 种。

所以「和是 5-9 老师赢、否则学生赢」的比赛里，老师赢的可能性是学生的 $24÷12=2$ 倍——看似公平的规则其实不公平。

典例精析

例 1 两枚骰子点数和为 7 的有几种组合？

$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共 6 种。

例 2 点数和是 2 与和是 7，哪个容易掷出？

和为 2 只有 1 种组合，和为 7 有 6 种，和是 7 容易得多。

例 3 全班做掷一掷试验，统计 40 次的点数和，结果最多的可能集中在哪几个数？

理论分析和是 5-9 的组合最多，试验结果大概率集中在 5-9，和为 7 附近最多。

对比

分组	包含的和	组合数	可能性
中间组	5、6、7、8、9（5 个数）	24	大（占 36 种的 2/3）
两端组	2、3、4、10、11、12（6 个数）	12	小（占 36 种的 1/3）

一句口诀收尾：两枚骰子三十六，和的分布中间厚；五个数和二十四，六个数和十二凑；比赛规则看似平，组合一数露真相。