圆柱与圆锥的体积与表面积公式

推导

圆柱体积：把圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿高切开拼成一个近似的长方体，底面积不变、高不变，由长方体体积=底面积×高得 $V=Sh$。$■$

圆柱侧面积：沿高剪开侧面展开成长方形，长等于底面周长 $C=2\pi r$、宽等于高 h，故 $S_{侧}=Ch=2\pi rh$；加上两个底面 $2\pi r^2$ 得表面积。$■$

圆锥体积：等底等高的圆柱与圆锥做倒水（或倒沙）实验，圆锥装满一次倒入圆柱，恰好三次装满，说明圆锥体积是圆柱的 $\frac{1}{3}$，即 $V=\frac{1}{3}Sh$。$■$

典例精析

例 1（圆柱）底面半径 2 厘米、高 5 厘米的圆柱，求体积与表面积（$\pi$ 取 3.14）。

$V=\pi r^{2}h=3.14\times 4\times 5=62.8\text{（立方厘米）}$

$S_{表}=2\pi rh+2\pi r^2=2\times 3.14\times 2\times 5+2\times 3.14\times 4=62.8+25.12=87.92\text{（平方厘米）}$

例 2（圆锥）圆锥形沙堆底面直径 4 米、高 1.5 米，沙每立方米重 1.7 吨，这堆沙约重多少吨？

底面半径 2 米：

$V=\frac{1}{3}\times 3.14\times 4\times 1.5=6.28\text{（立方米）}6.28\times 1.7=10.676\approx 10.7\text{（吨）}$

对比

等底等高时：$V_{锥}=\frac{1}{3}{V}_{柱}$，反过来 $V_{柱}=3V_{锥}$。

给家长的讲法

找一个圆柱形杯子和一个圆锥形纸杯，要求底一样大、高一样。把圆锥装满米倒进圆柱，数一数几次倒满，孩子会看到正好三次。三分钟。再把圆柱侧面沿高剪开铺平，看看是不是长方形。一句话可复述：等底等高时圆锥体积是圆柱的三分之一，圆柱侧面展开是长 2πr、宽 h 的长方形。

课堂提示

• 本页难点：圆锥体积漏乘 1/3；侧面积与体积公式混用。
• 一句提问：等底等高的圆柱和圆锥，体积为什么相差三倍？
• 板书/操作：用等底等高的圆柱、圆锥容器当堂倒水或倒沙，三次倒满；再把圆柱侧面剪开展成长方形。