特殊角的三角函数值

推导

30° 与 60°：取边长为 $2$ 的等边三角形，作一条高，由三线合一分成两个全等直角三角形，其斜边为 $2$、$30^{\circ }$ 对的短直角边为 $1$（见含 30° 角的直角三角形定理）、长直角边为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。

对 $30^{\circ }$ 角：

$\sin 30^{\circ }=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{1}{2},\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

对 $60^{\circ }$ 角（对边与邻边互换）：

$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\tan 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}■$

45°：等腰直角三角形三边比为 $1:1:\sqrt{2}$。设两直角边为 $1$、斜边为 $\sqrt{2}$：

$\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\tan 45^{\circ }=\frac{1}{1}=1■$

一般恒等式（互余关系）：在任意 Rt$△$ 中 $\angle B=90^{\circ }-\angle A$，角 $A$ 的对边恰是角 $B$ 的邻边，故

$\sin A=\cos B=\cos (90^{\circ }-A),\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

这解释了表中正弦、余弦列倒序相同。

典例精析

计算 ${\sin }^{2}30°+{\cos }^{2}30°-\tan 45°$：

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-1=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1=0$

（恒等式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 的直接验证。）

对比