A字模型：平行线截出的相似三角形

A字模型指三角形中一条边的平行线截出的小三角形与原三角形相似，对应边成比例，形如字母 A。它是相似三角形应用中最基础的图形，也是中位线定理的母体。

结构：△ABC\triangle ABC 中，DD 在 ABAB 上、EE 在 ACAC 上，DE∥BCDE \parallel BC，小三角形 △ADE\triangle ADE 套在原三角形内，形如字母 A。

标准形：DE∥BCDE \parallel BC（D∈ABD \in AB，E∈ACE \in AC），则 △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC，ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}。

适用前提与边界条件

  1. 截线必须平行于第三边，否则相似不成立
  2. 对应顶点必须对齐：AA 对 AA、DD 对 BB、EE 对 CC，错位比例全错

求解策略

  1. 认平行：找到或证明 DE∥BCDE \parallel BC
  2. 对顶点：A→AA \to A，D→BD \to B，E→CE \to C，按序写比例
  3. 定比例：用 ADAB\frac{AD}{AB}（不是 ADDB\frac{AD}{DB}）作相似比统一换算
  4. 升面积：面积比等于相似比的平方

模型结构

中， 在 上、 在 上，且 。小三角形 与原三角形共顶点 、方向相同，一大一小套成字母「A」。图中 、 恰为中点，即为中位线特例。

ABCDE
DE∥BC，△ADE∽△ABC，形如字母 A

核心结论与推导

结论：，。

证明：由 ，同位角 ，，又 公共，故 AA 相似成立，对应边成比例。

这也等价于平行线分线段成比例定理：，与相似比 可互推，注意分母不同。

典例精析

例：如图，，，，，求 。

解：相似比 ，故 。

点评：易错点是把 直接当相似比算出 ——相似比的分母必须是整边 。

常见变式

  1. 中位线特例：、 为中点时 ，是三角形中位线定理的内容。
  2. 梯形化 A 字：延长梯形两腰至相交，两底与交点构成 A 字。
  3. 多重 A 字：多条平行线层层截割，各小三角形两两相似，比例逐级传递。

对比与联系

模型图形特征相似比来源
A 字模型平行线同侧套叠
8 字模型平行线对顶两侧
一线三等角模型等角顶点共线由等角触发的 AA

正例与反例

✅ 正例

  • DE∥BCDE \parallel BC，AD:AB=1:2AD:AB=1:2，则 DE:BC=1:2DE:BC=1:2，S△ADE:S△ABC=1:4S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=1:4

❌ 反例

  • AD:DB=1:1AD:DB=1:1 时误判 DE:BC=1:1DE:BC=1:1：正确的是 AD:AB=1:2AD:AB=1:2，DE=12BCDE=\frac{1}{2}BC

高频误解与考试易错

  • 把 ADDB\frac{AD}{DB} 当相似比：相似比是 ADAB\frac{AD}{AB}，分母是整条边而非截下的一段
  • 平行条件用而不证：题目只说「DEDE 是截线」时必须先证或已知 DE∥BCDE \parallel BC
  • 面积比忘平方：S△ADE:S△ABCS_{\triangle ADE} : S_{\triangle ABC} 等于相似比的平方，不是相似比本身

常见问题

A 字模型的相似怎么证？
由 DE∥BCDE \parallel BC 得同位角 ∠ADE=∠B\angle ADE=\angle B、∠AED=∠C\angle AED=\angle C，加上公共角 ∠A\angle A，AA 即得 △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC。
和中位线定理什么关系？
中位线是 A 字模型的特例：当 DD、EE 各为两边中点时，相似比为 12\frac{1}{2}，于是 DE=12BCDE=\frac{1}{2}BC 且 DE∥BCDE \parallel BC。
梯形里有 A 字吗？
有。延长梯形两腰交于一点，上下底即构成 A 字模型，常用于求梯形对角线分比或面积比。
A 字与 8 字如何区分？
看平行线相对顶点的位置：同侧套叠是 A 字，异侧对顶是 8 字。同一道题作不同的平行辅助线，可能分别引出两种模型。

依据与出处

  • 人教版（2024 审定）九年级下册 第三十一章《相似》（2027 春起使用）

学习前置

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