费马点模型：三角距离和最小

求解策略

1. 验角：确认三内角均小于 $120°$，否则最值点退化为钝角顶点
2. 旋转 $60°$：把 $\triangle APC$ 绕 $A$ 旋转 $60°$ 得等边 $\triangle APP^{\prime}$
3. 拉直折线：$PA+PB+PC=PB+PP^{\prime}+P^{\prime}C^{\prime} \geq BC^{\prime}$
4. 定位置：费马点即向外等边三角形连线（三条共点）的交点

模型结构

$△ABC$ 内一点 $P$，连接 $PA$、$PB$、$PC$。图中 $P$ 满足 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120°$——这个把周角恰好三等分的点，就是到三顶点距离之和最小的费马点。

核心结论与推导

结论：三内角均小于 $120°$ 时，$PA+PB+PC$ 最小的充要条件是 $P$ 对三边张角均为 $120°$。

证明（旋转拉直）：把 $△APC$ 绕 $A$ 旋转 $60°$，$P\to P^{\prime }$，$C\to C^{\prime }$。则 $△AP{P}^{\prime }$ 为等边三角形，$PA=P{P}^{\prime }$，且 $PC=P^{\prime }{C}^{\prime }$。于是

$PA+PB+PC=PB+P{P}^{\prime }+P^{\prime }{C}^{\prime }\ge B{C}^{\prime },$

等号当 $B$、$P$、$P^{\prime }$、$C^{\prime }$ 共线时取得。此时 $\angle APB=180°-\angle AP{P}^{\prime }=120°$，同理各张角均为 $120°$。$■$

典例精析

例：$△ABC$ 中 $AB=3$，$AC=4$，$\angle BAC=90°$，求 $PA+PB+PC$ 的最小值。

解：把 $△APC$ 绕 $A$ 旋转 $60°$ 得 $△A{P}^{\prime }{C}^{\prime }$，最小值等于 $B{C}^{\prime }$。由旋转知 $A{C}^{\prime }=AC=4$，$\angle CA{C}^{\prime }=60°$，故 $\angle BA{C}^{\prime }=150°$。在 $△AB{C}^{\prime }$ 中用余弦定理：

$B{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{C}^{\prime 2}-2\cdot AB\cdot A{C}^{\prime }\cos 150°}=\sqrt{9+16+12\sqrt{3}}=\sqrt{25+12\sqrt{3}}.$

点评：「旋转 $60°$ → 折线拉直 → 余弦定理算弦」是费马点求值的标准三步。

常见变式

1. 构造版：以任一边向外作等边三角形，新顶点与对角顶点连线过费马点，三条连线共点。
2. 退化版：$\angle A\ge 120°$ 时费马点退化为顶点 $A$，最小值为 $AB+AC$。
3. 加权版：$m\cdot PA+n\cdot PB+p\cdot PC$ 需用广义费马点（力学平衡或向量法），初中阶段只需识别不需求解。

对比与联系