环形跑道模型：绕圈的相遇与追及

求解策略

1. 判方向：反向用速度和，同向用速度差
2. 圈长当距离：首次相遇/追上对应 1 个圈长，第 n 次对应 n 个圈长
3. 不同地出发先折算初始弧长差，再套整圈公式
4. 变式识别：两人速度变化或中途休息，分段计算再合成

模型结构

直线相遇「合走一段距离」，环形相遇「合跑一个圆圈」；直线追及「快者追上慢者」，环形追及「快者多跑一圈」。圈长就是新的初始距离。

标准形与建模

翻译对照：

标准形：

$\text{反向相遇：}(v_1+v_2)t=C,\text{同向追及：}(v_{快}-v_{慢})t=C$

圈长 $C$ 扮演了直线模型里「初始距离」的角色，只是每相遇/追上一次就重新计一圈。

求解步骤

1. 判方向：反向取速度和，同向取速度差。
2. 定圈数：首次对应 1 圈，第 n 次对应 n 圈。
3. 列式求时间：圈长（或 n 倍圈长）÷ 相对速度。
4. 检验：反向相遇时间应小于同向追上时间（速度和大于速度差）。

典例精析

例：环形跑道一圈 400 米，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。两人同时同地出发：（1）反向而行，多少秒后第一次相遇？（2）同向而行，多少秒后甲第一次追上乙？

解：（1）反向相遇，合跑一圈：

$t=\frac{400}{6+4}=\frac{400}{10}=40\text{（秒）}$

（2）同向追上，甲要比乙多跑一圈：

$t=\frac{400}{6-4}=\frac{400}{2}=200\text{（秒）}$

检验：反向相遇 40 秒时甲跑 240 米、乙跑 160 米，合计 400 米；同向 200 秒时甲跑 1200 米、乙跑 800 米，恰好多一圈。答：反向 40 秒相遇，同向 200 秒追上。

家长可以直接复述的算法：面对面跑，每秒合跑 10 米，合完 400 米就碰头；同方向跑，每秒只快 2 米，要多跑 400 米才能套一圈，所以慢得多。

常见变式

1. 第 n 次相遇/追上：反向第 n 次合跑 n 圈，同向第 n 次多跑 n 圈，时间是首次的 n 倍。
2. 不同地出发：把初始弧长差折算进「等效圈长」，再套公式。
3. 背向（同地反向）再相遇：与反向相同，每次合跑一圈。
4. 升级识别：速度不均匀或中途变速，分段用直线模型；多人环形问题，两两分析再合并。

对比与联系

一句话区分：环形 = 直线模型 + 圈长。把「初始距离」换成「一圈长度」，相遇追及的思路原封不动搬过来。