切线长定理模型：圆外一点两切线相等

求解策略

1. 认切线：确认两条直线都是圆的切线
2. 找切点：确定切点 $A$、$B$
3. 用定理：$PA=PB$
4. 连圆心：$OP$ 平分两切线夹角，$OP\perp AB$

模型结构

如图，圆 $O$ 外一点 $P$，两切线 $PA$、$PB$ 切圆于 $A$、$B$，$OP$ 为虚线（平分两切线夹角）。

核心结论与推导

结论（切线长定理）：$PA=PB$，且 $OP$ 平分 $\angle APB$，$OP\perp AB$。

推导：连接 $OA$、$OB$，则 $OA\perp PA$，$OB\perp PB$（切线垂直于过切点的半径），$OA=OB$（半径），$OP$ 公共。由 HL 判定 $△OAP\cong △OBP$，故 $PA=PB$，$\angle APO=\angle BPO$。$■$

典例精析

例：圆外一点 $P$ 引两切线 $PA$、$PB$，$PA=6$，$\angle APB=60°$。求 $PB$ 与 $\angle APO$。

解：由切线长定理，$PB=PA=6$；$OP$ 平分 $\angle APB$，故 $\angle APO=30°$。

常见变式

1. 切线四边形：四边形四边都是圆的切线，对边和相等（切线长定理的推论）。
2. 切线与弦：切线长配合弦切角定理求角度。
3. 切线长求半径：已知切线长和圆外点到圆心距离，用勾股定理求半径。

对比与联系

模型	条件	结论
切线长定理	圆外一点两切线	切线长相等
圆幂定理	点与圆	线段乘积为定值
弦切角	切线与弦	弦切角等于圆周角