切线判定定理模型：垂直半径则切线

求解策略

1. 找半径：确认直线与圆的交点在某条半径的外端
2. 验垂直：确认直线与该半径垂直
3. 用定理：两条件满足则直线为切线
4. 求角度：切线与半径垂直，夹角为 $90°$

模型结构

如图，圆 $O$ 中，$OA$ 为半径，直线 $PQ$ 经过 $A$ 且 $PQ\perp OA$，$B$ 为圆上另一点。

核心结论与推导

结论（切线判定定理）：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

推导：设直线 $PQ$ 过 $A$ 且 $PQ\perp OA$。若 $PQ$ 不是切线，则与圆有两个交点，圆心 $O$ 到 $PQ$ 的距离小于半径 $OA$。但 $OA\perp PQ$，$O$ 到 $PQ$ 的距离就是 $OA$，等于半径，矛盾。故 $PQ$ 是切线。$■$

典例精析

例：圆 $O$ 半径为 $5$，直线 $PQ$ 过圆上点 $A$，$OA=5$，$PQ\perp OA$。求证：$PQ$ 是圆的切线。

证：$PQ$ 经过半径 $OA$ 的外端 $A$，且 $PQ\perp OA$，由切线判定定理，$PQ$ 是圆的切线。

常见变式

1. 距离法判定：圆心到直线距离等于半径，则直线为切线。
2. 构造切线：过圆上一点作半径的垂线，即为切线。
3. 切线与直角：切线判定常用于证直角或构造直角三角形。

对比与联系