四点共圆模型：对角互补与圆周角相等
四点共圆模型给出判定四点共圆的两条核心路径：对角互补或同侧圆周角相等；在解题中用于转化角关系、构造辅助圆、求轨迹。
结构：圆内接四边形 ，、、、 依次在圆上（一般四边形），画对角线 、（虚线）。
标准形：已知四边形对角互补或同侧圆周角相等，判定四点共圆并利用圆的性质转化角。
适用前提与边界条件
- 四边形的四个顶点必须确实在同一个圆上，判定条件是「对角互补」或「同侧圆周角相等」
- 模型页侧重解题应用，定理推导见「圆内接四边形的性质」页
求解策略
- 验条件：检查是否有「对角互补」或「同侧等角」
- 判共圆：由条件判定 四点共圆
- 用性质：同弧圆周角相等、对角互补、外角等于内对角
- 转化角：把目标角转移到同弧或同弦位置求解
模型结构
如图，四边形 的四个顶点都在圆上（一般四边形，非正方形）。若 或 （同侧），则四点共圆。
核心结论与推导
结论：四点共圆的判定与性质
推导（判定）：由圆周角定理，同弧上的圆周角相等。若 ，则 、 所对的两条弧恰好合成一个整圆，四边形必内接于圆。若 ，则 、 在弦 同侧且张角相等，由「同侧等角定共圆」判定。
典例精析
例：四边形 中，，。求证： 四点共圆；若 ，求 。
证：，对角互补，故四点共圆。
解：由四点共圆，（同弧 上的圆周角相等）。
常见变式
- 直角隐共圆：四边形有一组互为对角的直角时必共圆（直径所对圆周角为直角的逆用）。
- 等角隐共圆：多个点对同一线段张角相等，这些点共圆。
- 共圆证相似：四点共圆后，由圆周角相等证三角形相似，再求线段比。
对比与联系
| 模型 | 核心 | 用途 |
|---|---|---|
| 四点共圆 | 对角互补或同侧等角 | 角转化、求轨迹 |
| 圆周角定理 | 同弧圆周角相等 | 求角度 |
| 托勒密定理 | 圆内接四边形边长关系 | 求对角线或边长 |
正例与反例
✅ 正例
- 四边形 中 ，则 四点共圆，可用同弧圆周角相等转化角
❌ 反例
- 四边形中 但 时，不能判定四点共圆
高频误解与考试易错
- 对角互补当充分条件乱用：必须是对角（非邻角）互补才能判定共圆
- 同侧圆周角相等方向看错：相等的角必须在弦的同侧，异侧相等反而说明不共圆
- 四点共圆后乱用性质：只有同弧上的圆周角才相等，不同弧的角关系要重新推导
常见问题
四点共圆最常用的判定是哪两条？
一是「对角互补」：四边形对角和为 ；二是「同侧圆周角相等」：两点在弦同侧且对弦张角相等。前者用于四边形，后者用于三点定圆后第四点验证。
四点共圆后能得到什么？
同弧上的圆周角相等（如 ）、对角互补、外角等于内对角。这些性质用于角转化、求角度、证相似。
解题中什么时候想到用四点共圆？
当题目出现「直角」「对角互补」「等角」且需要转化角关系时，优先考虑构造或判定四点共圆，把分散的角集中到同弧上。
依据与出处
- 人教版（2024 审定）九年级上册 第二十九章《圆》（2026 秋起使用；圆内接四边形）