托勒密定理模型：圆内接四边形对角线乘积

求解策略

1. 验共圆：确认四边形内接于圆
2. 列定理：$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$
3. 代入：已知三边或对角线，求未知量
4. 验证：结果需满足四边形边长关系

模型结构

如图，四边形 $ABCD$ 内接于圆，对角线 $AC$、$BD$ 为虚线。

核心结论与推导

结论（托勒密定理）：

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC.$

推导：在对角线 $BD$ 上取点 $E$，使 $\angle BAE=\angle CAD$。此时 $\angle ABE=\angle ABD=\angle ACD$（同对弧 $AD$），故 $△ABE\backsim △ACD$，得

$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}\Rightarrow AB\cdot CD=AC\cdot BE.$

又 $\angle EAD=\angle EAC+\angle CAD=\angle EAC+\angle BAE=\angle BAC$，且 $\angle ADE=\angle ADB=\angle ACB$（同对弧 $AB$），故 $△AED\backsim △ABC$，得 $AD\cdot BC=AC\cdot ED$。两式相加：

$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot (BE+ED)=AC\cdot BD.■$

典例精析

例：圆内接四边形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$BC=4$，$CD=4$，$AD=3$，$AC=5$。求 $BD$。

解：两组边长 $3、4、5$ 说明 $\angle ABC$、$\angle ADC$ 都是直角，$AC$ 为外接圆直径，数据满足圆内接四边形前提。由托勒密定理，

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC=3\times 4+3\times 4=24,$

故 $BD=\frac{24}{5}$。

常见变式

1. 特殊四边形：矩形、正方形等圆内接四边形，托勒密定理退化为勾股定理或边长关系。
2. 托勒密不等式：一般四边形满足 $AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC$，等号当且仅当共圆。
3. 对角线求边：已知对角线和三边，求第四边。

对比与联系