圆内接四边形的性质

定义

圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形。等价地说，就是「四点共圆」时顺次连接这四个点得到的四边形。

性质定理：圆内接四边形的对角互补；它的任意一个外角等于它的内对角。

判定定理：一组对角互补的四边形内接于圆（四点共圆）。

先弄清「内对角」：在顶点 $B$ 处作一个外角（延长 $AB$ 到 $E$，$\angle CBE$ 就是外角），这个外角的相邻内角是 $\angle ABC$，而 $\angle ABC$ 所对的那个角是 $\angle D$。于是 $\angle D$ 叫外角 $\angle CBE$ 的内对角。性质说「外角 = 内对角」，指的是 $\angle CBE=\angle D$，不是等于相邻内角 $\angle ABC$。

两条常用推论：

• 内接于圆的平行四边形必是矩形：平行四边形的对角相等，圆内接四边形又要求对角互补，既相等又互补的两个角只能各是 $90^{\circ }$，故为矩形
• 内接于圆的梯形必是等腰梯形：梯形有一组对边平行，平行弦夹等弧，等弧对等弦，两条腰相等

这两条常作为判断题出现，理解后不必死记。

推导

设四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$。

对角互补：$\angle A$ 与 $\angle C$ 都是圆周角。$\angle A$ 对着弧 $\widehat{BCD}$（不含 $A$），$\angle C$ 对着弧 $\widehat{BAD}$（不含 $C$）。这两段弧恰好拼成整个圆周：

$\widehat{BCD}+\widehat{BAD}=360^{\circ }$

由圆周角定理（圆周角等于所对弧度数的一半）：

$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\times 360^{\circ }=180^{\circ }■$

同理 $\angle B+\angle D=180^{\circ }$。这里的关键是「两段弧恰好拼成一个整圆」，所以两个圆周角的和是整个圆周所对圆心角（$360^{\circ }$）的一半，即 $180^{\circ }$。

外角等于内对角：延长 $AB$ 到 $E$。$\angle ABC+\angle CBE=180^{\circ }$（邻补角），又 $\angle ABC+\angle D=180^{\circ }$（对角互补），故

$\angle CBE=\angle D■$

判定（逆定理）：若四边形 $ABCD$ 中 $\angle A+\angle C=180^{\circ }$，过 $A$、$B$、$D$ 作圆（不共线三点定圆）。弧 $\widehat{BAD}$ 所对的、在 $C$ 同侧的圆周角恒为 $180^{\circ }-\angle A$，这恰是 $\angle C$，故 $C$ 在该圆上，四点共圆。$■$

典例精析

圆内接四边形 $ABCD$ 中，$\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4$，求四个角。

圆内接四边形对角互补：$\angle A+\angle C=180^{\circ }$，即 $2x+4x=180^{\circ }$，$x=30^{\circ }$。

故 $\angle A=60^{\circ }$、$\angle B=90^{\circ }$、$\angle C=120^{\circ }$，$\angle D=180^{\circ }-\angle B=90^{\circ }$。

例 2：四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle C$，问四边形是否一定内接于圆？

不一定。圆内接要求的是对角互补，而不是对角相等。$\angle A=\angle C$ 只能说明它是平行四边形的一类可能，与「是否内接于圆」没有直接关系。只有当 $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ 时才能由判定定理断定共圆。

这题的提醒是：判定定理用的是「互补」，与平行四边形的「相等」恰好相反，两者不能混用。

对比

四边形	对角关系
一般四边形	仅四角和为 $360^{\circ }$
平行四边形	对角相等
圆内接四边形	对角互补
内接于圆的平行四边形	既相等又互补，各为 $90^{\circ }$，即矩形

与其他知识的联系

圆内接四边形的性质几乎全由圆周角定理推出：对角互补是因为「两段弧拼成整圆，圆周角之和是 $180^{\circ }$」。所以它是圆周角定理在四边形上的应用，又反过来给「四点共圆」提供了一个好用判据。

「四点共圆」是几何里一个重要的隐藏条件——许多看似无关的角，一旦发现四个点共圆，就能用圆周角、圆内接四边形等结论把它们联系起来。往后，这一工具在平面几何综合题、以及高中解析几何里判断「圆」时都还会反复出现。