杨辉三角：比帕斯卡早六百年的数字三角形

背景

把 $(a+b)$ 逐次自乘，系数排成一个三角形：

$\begin{array}{ccccc}& & 1& & \\ & 1& & 1& \\ 1& & 2& & 1\\ 1& 3& 3& 1& \\ 1& 4& 6& 4& 1\end{array}$

每个数等于它肩上两数之和。它既给出 $(a+b{)}^n$ 的展开系数，也是开平方、开立方乃至高次开方所需的系数表——这正是它在中国的原始用途。

史料辨析

史实 北宋贾宪（约 1050 年）著《黄帝九章算法细草》，为解高次方程造「开方作法本源」图，即此三角。原书已佚，但南宋杨辉《详解九章算法》（1261 年）完整转录并注明「贾宪用此术」，故中国文献称之为贾宪三角或杨辉三角。

史实 杨辉之后，元代朱世杰《四元玉鉴》（1303 年）再载此图并用于垛积求和；约 11 世纪阿拉伯数学家 al-Karaji 一系也已知晓同类三角。欧洲 1654 年帕斯卡《论算术三角形》给出系统组合解释，拉丁文与法文文献后称帕斯卡三角。

有争议 贾宪生卒年无确考，「约 1050 年」据杨辉所注著作年代推断；亦有学者认为其活动期更早。这不妨碍「中国早于帕斯卡约六百年」的结论。

数学内核

展开系数：$(a+b{)}^n$ 展开后各项系数恰为三角的第 $n$ 行（顶行记第 0 行）：

$(a+b{)}^4=1\cdot a^4+4\cdot a^{3}b+6\cdot a^2{b}^2+4\cdot a{b}^3+1\cdot b^4$

递推律：第 $n+1$ 行每个数等于第 $n$ 行肩上两数之和，即组合恒等式

$C_{n+1}^k=C_n^{k-1}+C_n^k$

这对应选择路径的组合意义：从 $n+1$ 个元素里选 $k$ 个，要么包含特定元素（再从余下 $n$ 个选 $k-1$ 个），要么不包含（从 $n$ 个选 $k$ 个）。

行和：第 $n$ 行各数之和为 $2^n$，因为把 $(1+1{)}^n$ 展开即知。

斜和：沿浅斜线把数相加，得 $1,1,2,3,5,8,13,\dots$——斐波那契数列。一个三角形串起了乘法公式、组合计数与数列，是初中数学里难得的「三线交汇」景观。

说法与史实