北师大版八年级上册第七章《命题与证明》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：为什么证明 → 怎样证明 → 证明平行线与三角形内角和。

数学结论不能只靠观察和测量。测量有误差，图形也可能特殊，只有从定义、基本事实和已证定理出发，经过步步有据的推理，才能确认结论对一切情况都成立。这个过程就是证明。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 为什么要证明	理解观察、测量的局限	证明的必要性
2 认识证明	认识命题、定理与证明格式	条件、结论、依据
3 平行线的证明	证明判定、性质与内角和	完整推理链

顺序不能颠倒：不先理解“为什么”，证明就容易写成形式；不掌握命题结构，就找不准条件和结论。

1 为什么要证明

观察和测量能帮助我们发现问题，但不能作为证明的依据：

• 眼睛看到的“直”可能并不直
• 测量得到的角度有误差
• 特殊图形成立，不代表一般情况成立

例如只测量几个三角形的内角，得到和约为 $180^{\circ }$，这只是猜想；要说明任意三角形的内角和都是 $180^{\circ }$，必须给出推理证明。

数学中，基本事实是公认的、不加证明而采用的出发点；定理是经过证明的真命题；证明是从条件出发，依据定义、基本事实和已证定理，推出结论的过程。

2 认识证明

命题是判断一件事情的语句。命题由条件和结论两部分组成，通常可以改写成“如果……那么……”的形式：

• 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
• 如果两条直线平行，那么同位角相等

判断命题真假：

• 真命题：在所有情况下结论都成立
• 假命题：只要举出一个反例，说明条件成立而结论不成立

例如“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，因为两个角相等不一定是对顶角。

把一个命题的条件和结论互换，得到它的逆命题。原命题真，逆命题不一定真。例如“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题，但逆命题是假命题。

证明的一般格式：

1. 分清条件和结论
2. 画出图形，写出已知、求证
3. 从已知出发，逐步推理，每一步注明依据
4. 得到结论

证明中常用的依据包括：定义、基本事实、已证定理、等式的性质等。不能把要证明的结论直接当作依据。

3 平行线的证明

平行线的判定：

• 同位角相等，两直线平行
• 内错角相等，两直线平行
• 同旁内角互补，两直线平行

平行线的性质：

• 两直线平行，同位角相等
• 两直线平行，内错角相等
• 两直线平行，同旁内角互补

判定与性质的条件和结论正好相反。解题时先看已知：已知角的关系，用判定；已知平行，用性质。

例如已知直线 $a\parallel b$，直线 $c$ 与它们相交，$\angle 1=70^{\circ }$，要求与 $\angle 1$ 相邻的内角。由两直线平行，同旁内角互补，得另一个角为 $110^{\circ }$。

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 $180^{\circ }$。

证明思路：过三角形的一个顶点作对边的平行线，把另外两个内角“搬”到顶点处，与第三个内角拼成一个平角。具体来说，在 $△ABC$ 中，过点 $A$ 作 $DE\parallel BC$，则

• $\angle DAB=\angle B$（两直线平行，内错角相等）
• $\angle EAC=\angle C$（两直线平行，内错角相等）
• $\angle DAB+\angle BAC+\angle EAC=180^{\circ }$（平角定义）

所以 $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$。

由内角和定理可以推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

反证法是一种间接证明方法：

1. 假设结论不成立
2. 从这个假设出发，经过推理得出与已知、定义、基本事实或已证定理矛盾的结果
3. 说明假设不成立，从而结论成立

例如证明“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”，可以先假设能作两条，再推出与平行公理矛盾。

本章的三条主线结论

1. 证明必须有依据：观察和测量只能产生猜想，演绎推理才能确认结论
2. 命题看条件与结论：真命题要证明，假命题举反例，逆命题真假需另判
3. 平行线判定与性质互逆：由角得平行用判定，由平行得角用性质

最容易被考的是平行线的推理填空与三角形内角和证明，最容易出错的是判定性质混用、证明步骤缺依据。

自测

先自己完成，再看答案：

1. “对顶角相等”是命题吗？——是，它是判断一件事情的语句
2. “如果两个角相等，那么它们是对顶角”是真命题吗？——不是，举反例即可
3. 已知两直线平行，得到内错角相等，用的是判定还是性质？——性质
4. 已知内错角相等，得到两直线平行，用的是判定还是性质？——判定
5. 三角形内角和定理的证明关键辅助线是什么？——过一个顶点作对边的平行线
6. 反证法的第一步是什么？——假设结论不成立

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $3$、$4$ 题出错，说明判定与性质的方向还没分清。

学完本章之后

本章是初中几何证明的正式起点：

• 八年级下册《三角形的证明》：用本章的证明格式研究等腰三角形、直角三角形和角平分线
• 八年级下册《平行四边形》：证明平行四边形的性质与判定
• 九年级《特殊平行四边形》与《圆》：证明链条更长，依据更多
• 高中《立体几何》：证明空间中的平行与垂直关系

把“写已知求证、画图、逐步推理、注明依据”练成固定格式，几何证明就不会写成“因为所以”的堆砌。