苏科版七年级下册第12章《定义 命题 证明》教材同步学习指南

定义

本章是初中几何从“说理”走向“证明”的转折。主线是：明确概念（定义）→ 判断语句（命题）→ 用依据推理（证明）→ 形成可引用的结论（定理）。

• 定义：对一个数学对象的本质属性作出明确规定；
• 命题：判断一件事情的语句，由条件和结论两部分组成；
• 证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理等，经过逻辑推理得到结论的过程；
• 定理：经过证明为真的命题。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
12.1 定义	明确数学对象的含义	能准确复述定义
12.2 命题	找出条件与结论，判断真假	会改写“如果……那么……”
12.3 证明	每一步推理写明依据	完成简单的几何证明
12.4 定理	区分基本事实与定理	能引用定理继续推理

12.1 定义

定义是对数学对象含义的明确规定。例如：

• 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；
• 有公共端点的两条射线组成的图形叫角；
• 有一个角是直角的三角形叫直角三角形。

定义既是判断的依据，也是推理的起点。定义不需要证明，但使用时要与定义完全一致。

12.2 命题

命题由条件和结论组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式。例如：

• “两直线平行，内错角相等”；
• “若 $a=b$，则 $a^2=b^2$”；
• “对顶角相等”。

命题有真假之分。真命题需要证明；假命题只需举出一个反例。例如“若 $a^2=b^2$，则 $a=b$”是假命题，因为 $a=2$，$b=-2$ 时 $a^2=b^2$，但 $a\ne b$。

把一个命题的条件和结论互换，得到它的逆命题。原命题真，逆命题不一定真。

12.3 证明

证明是从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理等，经过逻辑推理得到结论的过程。证明的一般步骤：

1. 分清条件和结论；
2. 画出图形，写出已知和求证；
3. 从已知出发，逐步推理；
4. 每一步都写明依据；
5. 最后得到结论。

例：证明“对顶角相等”。

已知：直线 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$，$\angle AOC$ 与 $\angle BOD$ 是对顶角。

求证：$\angle AOC=\angle BOD$。

证明：因为 $\angle AOC$ 与 $\angle AOD$ 互为邻补角，所以

$\angle AOC+\angle AOD=180^{\circ }.$

同理，$\angle BOD+\angle AOD=180^{\circ }$。因此

$\angle AOC=180^{\circ }-\angle AOD=\angle BOD.$

所以对顶角相等。

12.4 定理

基本事实是人们在长期实践中总结出来、不需要证明的真命题，例如“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”。

定理是经过证明为真的命题，例如“对顶角相等”“两直线平行，内错角相等”“三角形内角和等于 $180^{\circ }$”。推论是由定理直接得到的结论。

证明“三角形内角和等于 $180^{\circ }$”：

已知：$△ABC$。

求证：$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$。

证明：过点 $A$ 作直线 $DE\parallel BC$。因为 $DE\parallel BC$，所以

$\angle DAB=\angle B,\angle EAC=\angle C.$

又因为 $D$、$A$、$E$ 在同一直线上，所以

$\angle DAB+\angle BAC+\angle EAC=180^{\circ }.$

等量代换得

$\angle B+\angle BAC+\angle C=180^{\circ }.$

所以三角形内角和等于 $180^{\circ }$。

反证法

反证法是一种间接证明方法：

1. 假设结论不成立；
2. 从假设出发进行推理；
3. 推出与已知、定义、基本事实或已证定理矛盾的结果；
4. 说明假设错误，从而原结论成立。

例：证明“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。可以先假设过该点有两条直线都与已知直线平行，再推出与平行公理矛盾。

本章的三条主线结论

1. 定义是起点，定理是终点：定义规定含义，定理给出可引用的真命题
2. 命题要分清条件和结论：改写为“如果……那么……”是基本训练
3. 证明每一步都要有依据：不能循环论证，也不能把结论当条件

自测

先自己完成，再看答案：

1. 把“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式。——如果两个角相等，那么它们的补角相等
2. 判断“若 $a>b$，则 $a^2>b^2$”的真假。——假命题，反例 $a=1$，$b=-2$
3. 基本事实需要证明吗？——不需要
4. 证明对顶角相等时用到了什么性质？——邻补角互补
5. 三角形内角和定理的结论是什么？——三角形三个内角的和等于 $180^{\circ }$
6. 反证法第一步做什么？——假设结论不成立

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2 题出错，说明反例的构造还需要练习。

学完本章之后

本章为整个初中几何证明奠基：

• 八年级《三角形》：全等三角形的判定与性质都要用本章的证明格式；
• 八年级《四边形》：平行四边形、特殊四边形的判定与性质是定理链的延续；
• 九年级《圆》：圆周角定理、切线判定等证明都建立在“依据—推理”之上。

把“条件、结论、依据”三件事写清楚，几何证明就从“凭感觉”变成“讲道理”。