北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：内角和 → 等腰三角形 → 直角三角形 → 垂直平分线 → 角平分线。

这一章把七年级学过的三角形性质重新用演绎推理组织起来。证明的依据是定义、基本事实和已证定理，每一步都要说清理由。全等三角形仍是最常用的工具。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 三角形内角和定理	证明内角和与外角性质	内角和 $180^{\circ }$、外角定理
2 等腰三角形	研究等边对等角与三线合一	性质、判定、等边三角形
3 直角三角形	研究直角三角形的特殊性质	斜边中线、$30^{\circ }$ 角、HL
4 线段的垂直平分线	研究到两端距离相等的点	性质、判定、外心
5 角平分线	研究到两边距离相等的点	性质、判定、内心

顺序不能颠倒：内角和是后续证明的基础；等腰三角形的三线合一又要借助全等，而垂直平分线与角平分线的性质都来自全等三角形。

1 三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 $180^{\circ }$。

证明方法：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用内错角相等，把三个内角拼成一个平角。

由内角和定理可以推出外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

例如在 $△ABC$ 中，延长 $BC$ 到 $D$，则 $\angle ACD=\angle A+\angle B.$ 这个结论在求角度、比较角的大小时非常常用。

2 等腰三角形

等腰三角形的性质：

• 两腰相等
• 两个底角相等，简称“等边对等角”
• 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”

等腰三角形的判定：

• 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”

“等边对等角”是由边相等到角相等，“等角对等边”是由角相等到边相等，方向相反，不能混用。

等边三角形是三边都相等的三角形，也是特殊的等腰三角形。它的三个内角都等于 $60^{\circ }$。

等边三角形的判定：

• 三边都相等的三角形是等边三角形
• 三个角都相等的三角形是等边三角形
• 有一个角是 $60^{\circ }$ 的等腰三角形是等边三角形

三线合一的证明通常用全等三角形：在等腰 $△ABC$ 中，$AB=AC$，作顶角平分线 $AD$，由 $AB=AC$、$\angle BAD=\angle CAD$、$AD=AD$，可证 $△ABD\cong △ACD$，从而 $BD=CD$，$AD\perp BC$。

3 直角三角形

直角三角形的性质：

• 两个锐角互余
• 斜边上的中线等于斜边的一半
• 如果一个锐角等于 $30^{\circ }$，那么它所对的直角边等于斜边的一半
• 如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于 $30^{\circ }$

直角三角形的判定：

• 有一个角是直角的三角形是直角三角形
• 有两个角互余的三角形是直角三角形
• 勾股定理的逆定理：三边满足 $a^2+b^2=c^2$ 且 $c$ 为最长边时，三角形是直角三角形

HL 判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

HL 是直角三角形特有的判定方法。使用时必须强调“直角三角形”这个前提，普通三角形没有 SSA 判定。

4 线段的垂直平分线

性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

判定定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

因此，线段的垂直平分线可以看成“到线段两端距离相等的所有点的集合”。

三角形的外心：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等，叫做三角形的外心。

外心可能在三角形内部、外部或斜边上，取决于三角形的形状。

用尺规作线段的垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，以大于线段一半的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线。

5 角平分线

性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

注意“距离”是点到直线的垂线段长度，不是任意一条线段。

三角形的内心：三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等，叫做三角形的内心。

角平分线性质常与面积结合：若点 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上，$PM\perp OA$，$PN\perp OB$，则 $PM=PN$。反过来，若 $PM=PN$ 且 $PM\perp OA$、$PN\perp OB$，则 $P$ 在角平分线上。

反证法也可以用于证明与垂直、平行有关的结论：先假设结论不成立，推出与已知或基本事实矛盾，从而说明原结论成立。

本章的三条主线结论

1. 内角和是基础：三角形内角和 $180^{\circ }$ 与外角定理贯穿全章
2. 特殊三角形有特殊性质：等腰看等边对等角与三线合一，直角看斜边中线与 $30^{\circ }$ 角
3. 两条轨迹：垂直平分线是到两端距离相等的点的集合，角平分线是到两边距离相等的点的集合

最容易被考的是等腰三角形的证明、垂直平分线与角平分线的性质应用，最容易出错的是三线合一前提和判定性质混用。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 等腰三角形的一个底角为 $50^{\circ }$，顶角是多少？——$80^{\circ }$
2. 等腰三角形的一个角为 $100^{\circ }$，另外两个角是多少？——$40^{\circ }$ 和 $40^{\circ }$
3. 直角三角形斜边为 $10$，斜边上的中线是多少？——$5$
4. 直角三角形中 $30^{\circ }$ 角所对的直角边为 $4$，斜边是多少？——$8$
5. 到线段两端距离相等的点在哪里？——线段的垂直平分线上
6. 到角两边距离相等的点在哪里？——角的平分线上

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $2$ 题出错，说明等腰三角形要分类讨论这一点还没掌握。

学完本章之后

本章把三角形专题系统化：

• 第二章《不等式与不等式组》：从几何证明转向不等关系
• 第三章《图形的平移与旋转》：研究图形变换中的不变量
• 第六章《平行四边形》：用全等与平行线证明平行四边形的性质
• 九年级《特殊平行四边形》与《圆》：垂直平分线、角平分线与外心、内心继续使用
• 高中《解三角形》与《立体几何》：三角形性质进一步推广

把“已知、求证、依据、结论”写完整，几何证明就有了真正的说服力。