北师大版二年级下册第三单元《除法的应用》教材同步学习指南

定义

有余数的除法：把一些物品平均分，分到最后还有剩余、不够再分一份，这样的除法叫有余数的除法。

$17÷5=3\cdots \cdots 2$

读作「17 除以 5 商 3 余 2」。

余数：平均分后剩下、不够再分一份的数。余数必须比除数小。

除法竖式：把除法竖着写出来算。被除数写在除号里面，除数写在左边，商写在上面，商乘除数的积写在下面，相减得到余数。

试商：想除数和几相乘最接近被除数、又不超过被除数，这个数就是商。

进一法与去尾法：解决租船、装袋等问题时，根据「剩下的是不是还要算一份」来决定商要不要加 1。

本单元把除法从「正好分完」推进到「分不完怎么办」，余数是核心，竖式是工具，试商是保证算对的关键。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
认识余数	分小棒、分松果，看剩下多少	会写 $17÷5=3\cdots \cdots 2$
余数与除数的关系	判断商是不是小了	牢记余数必须比除数小
除法竖式	按商、乘、减、比四步写	会写 $17÷5$ 的竖式
试商	用乘法口诀找商	会算 $43÷7=6\cdots \cdots 1$
解决问题	租船、装袋、分盘	会判断进一还是去尾

顺序不能乱：先懂余数的意思，才知道竖式最下面那个数是什么；先会试商，竖式才能写得又快又对；最后把有余数除法放回生活情境，才算真正学会。

余数是怎么产生的

把 13 个松果每 4 个装一盘：装 3 盘用掉 $3\times 4=12$ 个，还剩 1 个，不够再装一盘。

$13÷4=3\cdots \cdots 1$

把 17 根小棒每 5 根搭一个图形：搭 3 个用掉 15 根，还剩 2 根。

$17÷5=3\cdots \cdots 2$

把 23 个苹果每 4 个装一袋：装 5 袋用掉 20 个，还剩 3 个。

$23÷4=5\text{（袋）}\cdots \cdots 3\text{（个）}$

商 5 表示装满了 5 袋，余数 3 表示还剩 3 个苹果。商和余数的单位可能不同，要照着问题写。

易错：把余数的单位写成「袋」，或者把商的单位写成「个」。装袋问题里，商是袋数，余数是个数，不能互换。

余数必须比除数小

如果 $17÷5$ 写成 $2\cdots \cdots 7$，余数 7 比除数 5 大，说明剩下的 7 根还能再搭一个图形，商 2 小了。正确结果是 $3\cdots \cdots 2$。

如果 $18÷6$ 写成 $2\cdots \cdots 6$，余数 6 正好又能分一份，应该商 3，$18÷6=3$。

判断商对不对，先看余数：余数必须小于除数；余数等于除数也不行。

例：$31÷5$。想 5 的乘法口诀，五六三十，$31-30=1$，所以 $31÷5=6\cdots \cdots 1$。余数 1 小于 5，正确。

易错：只检查「余数比除数小」，不检查「商乘除数是否超过被除数」。两个条件要同时满足。

除法竖式

以 $17÷5$ 为例，竖式写成：

     3
5 ) 17
    15
    --
     2

竖式四步可以对照下表检查：

步骤	做什么	在 $17÷5$ 中
商	想 5 和几相乘接近 17	商 3，写在个位上方
乘	商乘除数	$3\times 5=15$，写在 17 下面
减	被除数减乘积	$17-15=2$
比	余数和除数比大小	$2<5$，正确

商要写在被除数相同数位的上方，17 的个位是 7，商 3 就写在 7 的正上方。减完的余数要落在横线下面，和个位对齐。

易错：商写偏位置，写到十位上方；忘记写商乘除数的积；相减后忘记把余数和除数比一比。

试商

试商就是给除法「猜一个商」，再用乘法口诀验证。

例 1：$43÷7$。想 7 的乘法口诀，六七四十二，$7\times 6=42$，比 43 小；七七四十九，$7\times 7=49$，超过 43。所以商 6，$43-42=1$，得 $43÷7=6\cdots \cdots 1$。

例 2：$29÷6$。四六二十四，$6\times 4=24$，比 29 小；五六三十，$6\times 5=30$，超过 29。所以商 4，$29-24=5$，得 $29÷6=4\cdots \cdots 5$。

试商口诀：商乘除数最接近，但又不能超过被除数。如果乘积超过被除数，说明商大了，要调小；如果余数大于或等于除数，说明商小了，要调大。

易错：只挑「接近」不看「不超过」。$29÷6$ 如果商 5，$5\times 6=30$ 已经超过 29，不对。

租船与装袋

有余数除法常用来解决「至少」「最多」的问题，关键看剩下的部分怎么处理。

租船（进一法）：22 人去划船，每条船坐 4 人。

$22÷4=5\text{（条）}\cdots \cdots 2\text{（人）}$

5 条船坐满后还剩 2 人，这 2 人也要坐船，所以至少需要 $5+1=6$ 条船。

做衣服（去尾法）：25 米布，每 3 米做一件衣服。

$25÷3=8\text{（件）}\cdots \cdots 1\text{（米）}$

剩下的 1 米不够做一件，只能做 8 件。

装盘（去尾法）：30 个松果，每 4 个装一盘，最多能装满几盘？

$30÷4=7\text{（盘）}\cdots \cdots 2\text{（个）}$

还剩 2 个不够一盘，所以最多装满 7 盘。

判断方法：问「至少需要多少」「这些人和物都要安排吗」，用进一法；问「最多能做多少」「能装满几盘」，用去尾法。

易错：看到余数就一律加 1，或者一律舍去。要先读清问题问的是「至少」还是「最多」。

本章的三条主线结论

1. 余数必须比除数小：余数等于或大于除数，说明商小了，还能再分。
2. 竖式按商、乘、减、比四步走：商乘除数的积不能超过被除数，减出的余数要和除数比。
3. 解决问题看余数的去向：都要安排就进一，不够一份就舍去。

最易错：余数比除数大；竖式商的位置写错；商和余数单位混；该进一的没进一。

自测

先自己算，再看答案：

1. $17÷5=?$ ——$3\cdots \cdots 2$。$3\times 5=15$，$17-15=2$。
2. $29÷6=?$ ——$4\cdots \cdots 5$。四六二十四，$29-24=5$，余数 5 小于 6。
3. $43÷7=?$ ——$6\cdots \cdots 1$。六七四十二，$43-42=1$。
4. 用竖式计算 $17÷5$，商写在哪里？——商 3 写在被除数个位 7 的上方，$3\times 5=15$ 写在 17 下面，减得 2。
5. 22 人租船，每条坐 4 人，至少需要几条船？——$22÷4=5\cdots \cdots 2$，进一法，至少 6 条。
6. 30 个松果，每 4 个装一盘，最多装满几盘？——$30÷4=7\cdots \cdots 2$，去尾法，最多装满 7 盘。

第 1、4 题出错说明余数或竖式不熟；第 2、3 题出错说明试商没掌握；第 5、6 题出错说明进一法、去尾法判断反了。

给家长的讲法

抓一把糖果（20 颗左右），让孩子每 4 颗装一小袋。装完后问：「装了几袋？还剩几颗？剩下的还能再装一袋吗？」再把算式写在纸上，让他指着商和余数说分别表示什么。接着换成「有 22 人，每辆车坐 4 人，至少要几辆车」，让孩子自己发现剩下的 2 人也要一辆车。一句话可复述：余数要比除数小，租船进一、装袋去尾。

学完本章之后

• 三年级下册《整数除法（一）》：除数是一位数的除法，竖式结构和本单元一样，只是被除数变大了。
• 后续学习除数是两位数的除法：试商要用到本单元「商乘除数不超过被除数」的经验，只是试商的步子更大。
• 三年级下册《关系与规律》：按规律排列的图形，第几个是什么，用有余数除法一算就知道。

一句口诀收尾：分不完，有余数，余数要比除数小；商乘减比写竖式，租船进一装袋抛。