北师大版九年级上册第四章《图形的相似》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：形状相同 → 判定相似 → 研究性质 → 位似放大缩小。

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，对应边的比叫相似比。相似三角形是本章的核心模型：它把“形状相同”转化为边的比例关系，再通过比例计算长度、面积和实际高度。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 相似多边形	认识比例线段与相似多边形	对应角相等、对应边成比例
2 探索三角形相似的条件	用角与边判定相似	AA、SAS、SSS
3 相似三角形判定定理的证明	理解判定定理为什么成立	构造全等或平行线完成证明
4 相似三角形的性质	研究周长、面积与对应线段	周长比等于相似比，面积比等于相似比平方
5 图形的位似	用位似中心放大或缩小	位似比与坐标变化
问题解决活动	利用相似三角形测高	影长比例、镜子反射

1 相似多边形

四条线段 $a$、$b$、$c$、$d$ 中，如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$ 就说这四条线段成比例。比例的基本性质是 $ad=bc.$

相似多边形的定义包含两个条件：

• 对应角相等；
• 对应边成比例。

两个相似多边形的相似比为 $k$，则周长比为 $k$，面积比为 $k^2$。

黄金分割：点 $P$ 把线段 $AB$ 分成 $AP$、$PB$ 两段，如果 $\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP},$ 那么 $\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx \mathrm{0.618.}$ 这个比叫黄金比，在建筑、艺术和几何作图中经常出现。

2 探索三角形相似的条件

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，这就是平行线分线段成比例的基本事实。它在三角形中常表现为“A 字型”和“8 字型”。

判定两个三角形相似的主要方法：

• AA：两角分别相等；
• SAS：两边成比例且夹角相等；
• SSS：三边成比例。

直角三角形还可以用“斜边和一条直角边成比例”判定相似。

使用 SAS 时，相等的角必须是两条成比例边的夹角。如果角不是夹角，即使两边成比例，也不能判定相似。

3 相似三角形判定定理的证明

判定定理的证明思路，是把未知的相似关系转化为已知的全等或平行关系：

• 证明 AA 时，可以在较大的三角形上截取与较小三角形相等的线段，先构造全等三角形，再证明剩余部分相似；
• 证明 SAS、SSS 时，可以通过作平行线构造“A 字型”，把问题转化为 AA；
• 证明过程中要始终保持对应顶点、对应边的顺序一致。

理解证明思路比背证明过程更重要。考试中更常考的是判定方法的选用，而不是完整复述证明。

4 相似三角形的性质

相似三角形的对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线也都成比例，比值都等于相似比。

设相似比为 $k$，则：

• 周长比等于 $k$；
• 面积比等于 $k^2$；
• 对应线段的比等于 $k$。

例：两个相似三角形的相似比为 $2:3$，面积比为 $4:9$。如果它们的面积和为 $52$，则两份面积分别为 $52\times \frac{4}{13}=16,52\times \frac{9}{13}=36.$

5 图形的位似

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，这样的两个图形叫位似图形，交点叫位似中心，相似比叫位似比。

位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的全部性质，此外还有：

• 对应点到位似中心的距离比等于位似比；
• 对应边互相平行或在同一直线上；
• 位似中心可以在两个图形之间，此时两个图形位于位似中心的两侧。

以原点为位似中心、位似比为 $k$ 时，点 $(x,y)$ 的对应点为 $(kx,ky)$ 或 $(-kx,-ky)$，具体取哪一个由图形所在的侧决定。

问题解决活动：利用相似三角形测高

测量不可直接到达的物体高度，常用两种模型：

• 影长模型：同一时刻，太阳光近似平行，物高与影长成比例，即 $\frac{h_1}{h_2}=\frac{l_1}{l_2};$
• 镜子模型：利用反射角等于入射角，构造两个相似的直角三角形。

例：标杆高 $1.5$ 米，影长 $2$ 米；同一时刻树的影长 $8$ 米。设树高为 $h$ 米，则 $\frac{h}{1.5}=\frac{8}{2},$ 所以 $h=6$ 米。

本章的三条主线结论

1. 对应关系是前提：写相似式时对应顶点必须按顺序排列，对应边不能错配
2. 判定与性质要分开：AA、SAS、SSS 是判定；对应线段成比例、周长比、面积比是性质
3. 比例可以建模：影长、镜子、地图、位似，本质都是把实际长度转化为比例式计算

自测

先自己完成，再看答案：

1. 两个相似三角形的相似比为 $3:5$，周长比和面积比各是多少？——周长比 $3:5$，面积比 $9:25$
2. 两个相似三角形的面积比为 $16:25$，相似比是多少？——$4:5$
3. 标杆高 $1.5$ 米、影长 $2$ 米，树影长 $8$ 米，树高是多少？——$6$ 米
4. 以原点为位似中心、位似比为 $2$，点 $(1,-2)$ 的对应点是什么？——$(2,-4)$ 或 $(-2,4)$
5. 判定两个三角形相似，AA 指的是什么？——两角分别相等
6. 黄金比约等于多少？——$0.618$

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $1$、$2$ 题出错，说明“相似比、周长比、面积比”的层级还没有分清。

学完本章之后

本章把比例与图形结合起来，是初中几何从“证明形状”走向“计算长度”的关键一章：

• 第五章《投影与视图》：影子问题就是平行投影与相似三角形的结合
• 九年级下册第二章《二次函数》：坐标系中的相似三角形常与二次函数综合出题
• 九年级下册《直角三角形的边角关系》：锐角三角函数本质上也是边与边的比
• 高中解析几何：相似与比例仍是研究图形位置关系的基本工具

把“先找对应、再写比例、最后代值”练成固定动作，相似题就有了稳定的入手点。