北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：边比 → 特殊角 → 解直角三角形 → 实际测量。

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$\angle A$ 的对边为 $a$，邻边为 $b$，斜边为 $c$。规定

$\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c},\tan A=\frac{a}{b}.$ 这三个比值只与 $\angle A$ 的大小有关，与三角形的大小无关，所以叫锐角三角函数。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 锐角三角函数	建立边比与角度的对应	正弦、余弦、正切的定义与特殊值
2 解直角三角形	由已知元素求未知元素	边长、角度、面积
3 三角函数的应用	把实际问题转化为直角三角形	测高、坡度、方向角问题

1 锐角三角函数

锐角三角函数的取值范围：

• $0<\sin A<1$；
• $0<\cos A<1$；
• $\tan A>0$。

同角关系： ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1,\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}.$

互余关系： $\sin A=\cos (90^{\circ }-A),\cos A=\sin (90^{\circ }-A).$

特殊角的三角函数值要熟记：

角 $A$	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$
$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

例：在直角三角形中，$\angle C=90^{\circ }$，三边为 $3$、$4$、$5$，其中 $\angle A$ 的对边为 $3$，邻边为 $4$，斜边为 $5$，则 $\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5},\tan A=\frac{3}{4}.$

2 解直角三角形

解直角三角形，就是由直角三角形中已知的元素求出其余未知元素。除直角外，至少需要知道两个条件，其中至少有一个是边。

常见类型：

• 已知两条直角边：先用勾股定理求斜边，再用正切求角；
• 已知斜边和一条直角边：先用勾股定理求另一边，再用正弦或余弦求角；
• 已知一条边和一个锐角：用正弦、余弦、正切求其余边，用两锐角互余求另一个角。

选择关系式时，先看已知量和未知量在哪个比值中出现，尽量用“含两个已知量”的关系式，减少中间计算。

例：$\angle C=90^{\circ }$，$\angle A=30^{\circ }$，$c=10$，则 $a=c\sin 30^{\circ }=10\times \frac{1}{2}=5,$ $b=c\cos 30^{\circ }=10\times \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3},$ $\angle B=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$

例：$a=3$，$b=4$，则 $c=\sqrt{3^2+4^2}=5,$ $\tan A=\frac{3}{4},$ 所以 $\angle A\approx 36.9^{\circ }$，$\angle B\approx 53.1^{\circ }$。

3 三角函数的应用

实际问题通常要先构造直角三角形，再把已知条件转化为边或角。

仰角与俯角：视线与水平线的夹角。视线在水平线上方叫仰角，在水平线下方叫俯角。

坡度与坡角：坡面的铅直高度 $h$ 与水平宽度 $l$ 的比叫坡度，记作 $i=\frac{h}{l}=\tan \alpha ,$ 其中 $\alpha$ 是坡角。坡度是一个比值，不是角度。

方向角：用“北偏东多少度”“南偏西多少度”描述方向，画图时先确定正北、正南方向，再按角度偏转。

例：从地面 $A$ 点测得楼顶的仰角为 $30^{\circ }$，向楼前进 $20$ 米到达 $B$ 点，测得楼顶的仰角为 $45^{\circ }$。设楼高为 $h$ 米，则 $B$ 点到楼底的距离为 $h$ 米，$A$ 点到楼底的距离为 $h+20$ 米。由 $\tan 30^{\circ }=\frac{h}{h+20}$ 得 $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{h+20},$ 所以 $h=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=10(\sqrt{3}+1)\approx 27.3\text{ 米}.$

问题解决活动：利用三角函数测高

使用测倾器测量仰角时，通常要记录仪器高度、两次观测点之间的距离和两次仰角。画出示意图，把仪器高度、楼高、水平距离放进同一个直角三角形或两个相邻的直角三角形中，再列方程求解。

测高的关键是“把不可直接测量的高度，转化为可测量的水平距离和角度”。

本章的三条主线结论

1. 定义是边比：正弦、余弦、正切都是两条边的比，先找对边、邻边、斜边
2. 解直角三角形要有两个条件：至少一条边，否则三角形大小不确定
3. 应用靠构造直角三角形：仰角、俯角、坡度、方向角，都要先画图再选关系式

自测

先自己完成，再看答案：

1. $\sin 30^{\circ }$、$\cos 60^{\circ }$、$\tan 45^{\circ }$ 各是多少？——$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$、$1$
2. 直角三角形中 $a=6$，$c=10$，求 $b$、$\sin A$、$\cos A$、$\tan A$。——$b=8$，$\sin A=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，$\tan A=\frac{3}{4}$
3. $\angle A=45^{\circ }$，斜边 $c=6\sqrt{2}$，求两条直角边。——都为 $6$
4. 坡度 $i=1:\sqrt{3}$，坡角是多少？——$30^{\circ }$
5. 仰角 $30^{\circ }$，前进 $20$ 米后仰角 $45^{\circ }$，楼高是多少？——$10(\sqrt{3}+1)$ 米
6. 解直角三角形至少需要几个条件？——两个，且至少有一个是边

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $2$、$5$ 题出错，说明对边、邻边的辨认或双直角三角形建模还不熟。

学完本章之后

本章把相似三角形的“边成比例”推进到“边与角的对应”：

• 第二章《二次函数》：函数思想从正比例、一次扩展到二次；反比例函数已在上学期第六章学过
• 第三章《圆》：圆中的弦、切线问题常要构造直角三角形，再用三角函数求长度
• 高中解三角形：正弦定理、余弦定理是本章内容的推广
• 物理与工程：力的分解、坡度、测量，都会用到三角函数

把“先画图找直角三角形，再标对边邻边，最后选关系式”作为固定流程。