苏科版九年级下册第8章《锐角三角函数》教材同步学习指南

定义

在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$。对于锐角 $A$，设对边 $BC=a$、邻边 $AC=b$、斜边 $AB=c$，则

正弦： $\sin A=\frac{a}{c}.$

余弦： $\cos A=\frac{b}{c}.$

正切： $\tan A=\frac{a}{b}.$

这三个比值都只与锐角 $A$ 的大小有关，与三角形的大小无关。它们统称锐角三角函数。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
8.1 正切、正弦、余弦	认清对边、邻边、斜边	写对三个比值
8.2 锐角三角函数的计算	记特殊角的值，判断增减性	会算、会比大小
8.3 解直角三角形	由已知元素求其余元素	解决仰角、俯角、坡度问题

8.1 正切、正弦、余弦

三个函数的共同点是都用“边与边的比”刻画角的大小：

函数	定义	记忆要点
$\sin A$	对边比斜边	正弦对斜
$\cos A$	邻边比斜边	余弦邻斜
$\tan A$	对边比邻边	正切对邻

“对边”“邻边”是相对于所研究的锐角而言的。同一个三角形中，换一个锐角，对边和邻边就会交换。

例：在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$BC=3$，$AC=4$，则 $AB=5$， $\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5},\tan A=\frac{3}{4}.$

8.2 锐角三角函数的计算

特殊角的三角函数值：

角 $A$	$\sin A$	$\cos A$	$\tan A$
$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

增减性：在 $0^{\circ }<A<90^{\circ }$ 范围内，

• $\sin A$ 随 $A$ 增大而增大；
• $\tan A$ 随 $A$ 增大而增大；
• $\cos A$ 随 $A$ 增大而减小。

同角关系： ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1,\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}.$

例：已知 $\sin A=\frac{3}{5}$，且 $A$ 为锐角，则 $\cos A=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5},\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{3}{4}.$

8.3 解直角三角形

解直角三角形，就是由已知元素求出其余未知元素。常用关系：

1. 三边关系：$a^2+b^2=c^2$；
2. 两锐角关系：$\angle A+\angle B=90^{\circ }$；
3. 边角关系：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。

例：在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$\angle A=30^{\circ }$，$AB=10$。求 $BC$、$AC$。

由 $\sin A=\frac{BC}{AB}$ 得 $BC=10\sin 30^{\circ }=10\times \frac{1}{2}=5.$ 由 $\cos A=\frac{AC}{AB}$ 得 $AC=10\cos 30^{\circ }=10\times \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.$

例：已知 $\tan A=\frac{3}{4}$，$BC=6$，求 $AC$、$AB$。

由 $\tan A=\frac{BC}{AC}$ 得 $AC=\frac{BC}{\tan A}=\frac{6}{3/4}=8.$ 由勾股定理得 $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$。

实际应用：

• 仰角与俯角：视线与水平线的夹角，常构造直角三角形；
• 坡度：$i=\frac{\text{竖直高度}}{\text{水平宽度}}=\tan \alpha$，其中 $\alpha$ 为坡角；
• 方位角：从正北或正南方向顺时针（或逆时针）旋转的角度。

例：某斜坡的坡度 $i=1:2$，则坡角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha =\frac{1}{2}.$ 坡度是比值，不是角度。

本章的三条主线结论

1. 三角函数是边比：先定角，再定对边、邻边、斜边
2. 特殊角的值要背熟：$30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$ 是计算的基石
3. 解直角三角形先画图：把已知角、已知边标在图上，再选合适的函数

自测

先自己完成，再看答案：

1. 在直角三角形中，$\sin A$ 等于哪两条边的比？——对边比斜边
2. $\sin 30^{\circ }$ 等于多少？——$\frac{1}{2}$
3. $\tan 45^{\circ }$ 等于多少？——1
4. 已知 $\angle A=60^{\circ }$，斜边为 8，$A$ 的对边是多少？——$4\sqrt{3}$
5. 坡度为 $1:3$，则坡角的正切值是多少？——$\frac{1}{3}$
6. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$\tan A=\frac{3}{4}$，$BC=9$，则 $AC$ 是多少？——12

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、4 题出错，说明边角对应关系还需再练。

学完本章之后

本章把直角三角形的边与角连接起来：

• 高中《三角函数》：锐角三角函数推广到任意角，出现周期性
• 高中《解三角形》：正弦定理、余弦定理解一般三角形
• 实际测量：高度、距离、坡度、方位都依赖本章模型

把“画图—标边角—选函数—解方程”做成固定流程，解直角三角形就不会选错关系式。