浙教版九年级下册第1章《解直角三角形》教材同步学习指南

定义

在 $\angle C=90^{\circ }$ 的直角三角形 $ABC$ 中，设 $\angle A$ 的对边为 $a$、邻边为 $b$、斜边为 $c$，则 $\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c},\tan A=\frac{a}{b}.$ $\angle A$ 的正弦、余弦、正切都叫锐角三角函数。

因为直角边小于斜边，所以 $0<\sin A<1,0<\cos A<1,\tan A>0.$ 锐角的三角函数值只由角的大小决定，与三角形的大小无关。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 锐角三角函数	建立边与角的比值关系	记住三个定义与特殊角的值
1.2 锐角三角函数的计算	求值、由值求角、化简	会用同角关系与互余关系
1.3 解直角三角形	由已知元素求其余元素	会处理仰角、俯角、坡度问题

1.1 锐角三角函数

三个比值的记忆要点：正弦看“对边与斜边”，余弦看“邻边与斜边”，正切看“对边与邻边”。同一个角的正切还可以写成 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}.$

特殊角的三角函数值必须记牢：

角 $A$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$
$\sin A$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos A$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan A$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

例：在 $\angle C=90^{\circ }$ 的直角三角形中，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得 $AB=5$。以 $\angle A$ 为例，对边 $BC=3$，邻边 $AC=4$，斜边 $AB=5$，所以 $\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5},\tan A=\frac{3}{4}.$ 验算：${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$。

易错：$\sin A$ 是一个比值，没有单位；同一个锐角在不同大小的直角三角形中，三角函数值完全相同，这正是相似三角形对应边成比例的结果。

1.2 锐角三角函数的计算

非特殊角的三角函数值可以用计算器求，使用时要注意把计算器切换到角度制（DEG）。已知函数值求锐角，则用相应的反三角函数键。

同角关系与互余关系是化简的常用工具： ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1,\tan A=\frac{\sin A}{\cos A},$ $\sin A=\cos (90^{\circ }-A),\tan A\cdot \tan (90^{\circ }-A)=1.$

例：已知 $\angle A$ 为锐角，$\sin A=\frac{3}{5}$，求 $\cos A$ 与 $\tan A$。

由 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 得 ${\cos }^{2}A=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},$ 因为 $A$ 为锐角，$\cos A>0$，所以 $\cos A=\frac{4}{5}$，从而 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.$

例：计算 $\tan 45^{\circ }-2\sin 30^{\circ }$，得 $1-2\times \frac{1}{2}=0.$

易错：${\sin }^{2}A$ 表示 $(\sin A{)}^2$，不是 $\sin (A^2)$；用计算器时若停留在弧度制，会得到完全错误的值。

1.3 解直角三角形

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。解直角三角形至少需要已知一条边：已知两边，或已知一边和一锐角。

例：在 $\angle C=90^{\circ }$ 的直角三角形中，$\angle A=30^{\circ }$，斜边 $c=10$，求其余元素。

$\angle B=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ },$ $a=c\sin A=10\times \frac{1}{2}=5,$ $b=c\cos A=10\times \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.$ 验算：$a^2+b^2=25+75=100=c^2$，符合勾股定理。

应用一（仰角）：在距塔底 30 m 处测得塔顶的仰角为 $60^{\circ }$，塔高为 $30\tan 60^{\circ }=30\sqrt{3}\approx 52.0\text{m}.$

应用二（坡度）：坡面的坡度 $i=1:\sqrt{3}$，设坡角为 $\alpha$，则 $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},$ 所以 $\alpha =30^{\circ }$。坡度是一个比值，坡角是一个角，二者通过正切互相转化。

易错：求对边用正弦，求邻边用余弦，不要看到斜边就一律用余弦；仰角是从水平线向上量到视线的角，俯角是从水平线向下量，画图时先把水平线画出来。

本章的三条主线结论

1. 比值只由角决定：三角函数值与三角形大小无关，这使测量不可直接到达的高度成为可能。
2. 解直角三角形要选对函数：已知一边一角或两边，先画图标注对边、邻边、斜边，再选正弦、余弦或正切。
3. 实际问题先画示意图：把仰角、俯角、坡度转化为直角三角形中的角，再套用三角函数。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 在 $\angle C=90^{\circ }$ 的直角三角形中，$a=6$，$c=10$，求 $\sin A$。——$b=8$，$\sin A=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
2. 计算 $\tan 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }$。——$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
3. 在 $\angle C=90^{\circ }$ 的直角三角形中，$\angle A=60^{\circ }$，斜边 $c=8$，求对边 $a$。——$a=8\sin 60^{\circ }=4\sqrt{3}$
4. 坡度 $i=1:1$，求坡角。——$\tan \alpha =1$，坡角为 $45^{\circ }$
5. 计算 ${\sin }^{2}40^{\circ }+{\cos }^{2}40^{\circ }$。——等于 1
6. 在距楼底 20 m 处测得楼顶仰角为 $45^{\circ }$，求楼高。——$20\tan 45^{\circ }=20$ m

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、3 题出错，说明对边、邻边、斜边的对应关系还需再练。

学完本章之后

本章把相似比定量化为三角函数：

• 九年级下册第2章《直线与圆的位置关系》：弦长、切线长的计算常要解直角三角形
• 高中《三角函数》：角从锐角推广到任意角，进而研究图象、周期与恒等变换
• 实际应用：测量建筑物高度、航海定位、道路与屋面的坡度设计

把“标出对边邻边斜边—选函数—解方程—按题意取近似值”做成流程，解直角三角形就不会在选边上出错。