北师大版九年级下册第二章《二次函数》教材同步学习指南

学习顺序

1 认识二次函数

二次函数的一般式是 $y=a{x}^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a\ne 0$。$a$ 决定开口方向和开口大小，$b$ 与 $a$ 共同决定对称轴位置，$c$ 是图象与 $y$ 轴交点的纵坐标。

例如 $y=2x^2-3x+1$ 是二次函数；$y=(x-1)(x+2)$ 展开后为 $y=x^2+x-2$，也是二次函数。

实际问题中，自变量往往有范围限制，例如边长为正、时间非负。写函数关系式时要把范围一并写出来。

2 二次函数的图象

开口方向：$a>0$ 时开口向上，函数有最小值；$a<0$ 时开口向下，函数有最大值。$|a|$ 越大，开口越小。

顶点式：$y=a(x-h{)}^2+k$ 的顶点为 $(h,k)$，对称轴为直线 $x=h$。图象可由 $y=a{x}^2$ 平移得到，规律是左加右减、上加下减。

一般式：$y=a{x}^2+bx+c$ 的对称轴为 $x=-\frac{b}{2a},$ 顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right).$

增减性：$a>0$ 时，在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而减小，在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大；$a<0$ 时相反。

例：$y=x^2-4x+3$ 配方得 $y=(x-2{)}^2-1,$ 所以顶点为 $(2,-1)$，对称轴为直线 $x=2$，与 $y$ 轴交于 $(0,3)$，与 $x$ 轴交于 $(1,0)$、$(3,0)$。

3 二次函数的应用

二次函数应用题的通用步骤：

1. 设自变量，建立函数关系式；
2. 确定自变量的取值范围；
3. 配方或利用顶点公式求最值；
4. 比较顶点与区间端点，写出答案。

常见模型：

• 最大利润：利润等于单件利润乘销量，列出二次函数后求顶点；
• 最大面积：用总长表示另一边，列出面积函数；
• 抛物线形实际问题：拱桥、喷泉、投篮等，先建立坐标系，再用顶点式或交点式。

例：用长为 $L$ 的篱笆靠墙围一个矩形，墙足够长。设垂直于墙的边长为 $x$，则平行于墙的边长为 $L-2x$，面积 $S=x(L-2x)=-2x^2+Lx.$ 这是开口向下的二次函数，顶点在 $x=\frac{L}{4},$ 最大面积为 $S_{\max }=\frac{L^2}{8}.$

注意：顶点求出的最值不一定在自变量范围内。若顶点不在范围内，就要比较区间端点处的函数值。

4 二次函数与一元二次方程

令 $y=0$，二次函数就变成一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0.$ 抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标，就是方程的实数根。

交点个数由判别式决定：

• $\Delta >0$：抛物线与 $x$ 轴有两个交点；
• $\Delta =0$：抛物线与 $x$ 轴有一个交点；
• $\Delta <0$：抛物线与 $x$ 轴没有交点。

例：$y=x^2-2x-3$，令 $y=0$ 得 $x^2-2x-3=0$，因式分解为 $(x+1)(x-3)=0$，所以交点为 $(-1,0)$、$(3,0)$。

借助图象还可以解不等式：$y>0$ 对应的 $x$ 范围，就是抛物线位于 $x$ 轴上方的部分。

问题解决活动：怎样围面积最大

篱笆靠墙问题是本章最典型的建模活动：先用总长表示两边，再把面积写成二次函数，最后用顶点求最值。关键有两点：一是设对自变量，二是写清取值范围。若墙长有限，平行于墙的边不能超过墙长，最值可能出现在端点而不是顶点。

本章的三条主线结论

1. 图象由系数决定：$a$ 管开口，对称轴由 $a$、$b$ 共同决定，$c$ 管与 $y$ 轴的交点
2. 最值先看顶点，再看范围：顶点在范围内取顶点，不在范围内比较端点
3. 函数与方程互相转化：抛物线与 $x$ 轴的交点就是对应一元二次方程的根

自测

先自己完成，再看答案：

1. $y=x^2-4x+3$ 的顶点坐标和对称轴是什么？——顶点 $(2,-1)$，对称轴 $x=2$
2. $y=-2(x+1{)}^2+3$ 的开口方向和顶点是什么？——开口向下，顶点 $(-1,3)$
3. $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴的交点是什么？——$(-1,0)$、$(3,0)$
4. 篱笆总长 $20$ 米，靠墙围矩形，最大面积是多少？——$50$ 平方米
5. $y=x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴有几个交点？——没有，$\Delta =4-12=-8<0$
6. $y=x^2-2x+3$ 在 $2\le x\le 3$ 上的最大值是多少？——$6$（$x=3$ 时取得）

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $4$、$6$ 题出错，说明还没有把“顶点与取值范围”结合起来。

学完本章之后

本章是初中函数学习的第二个高峰，把一次函数的图象方法推进到曲线：

• 九年级上册第三章《概率的进一步认识》：同册先学的统计线，与本章的函数主干在中考总复习并轨
• 九年级上册第六章《反比例函数》：双曲线与抛物线对比，研究图象与系数的关系
• 高中二次函数与不等式：配方、顶点、判别式仍是核心工具
• 高中导数：二次函数是最简单的非线性函数，是理解单调性与最值的起点

把“先配方定顶点，再看范围定最值，最后回到方程看交点”作为固定流程。