北师大版六年级上册第一单元《分数除法》教材同步学习指南

定义

倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数。求一个分数的倒数，把分子、分母交换位置；求整数 $a$（$a\ne 0$）的倒数，就是 $\frac{1}{a}$；1 的倒数是 1，0 没有倒数。

分数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。它是分数乘法的逆运算。

分数除以整数：把分数平均分成若干份，求每份是多少。例如 $\frac{4}{5}÷2$ 表示把 $\frac{4}{5}$ 平均分成 2 份。

一个数除以分数：求一个数里包含多少个另一个数。例如 $\frac{3}{4}÷\frac{3}{8}$ 表示 $\frac{3}{4}$ 里有几个 $\frac{3}{8}$。

计算法则：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。用字母表示是 $a÷b=a\times \frac{1}{b}$（$b\ne 0$）。

分数混合运算：运算顺序与整数混合运算相同，先算括号里，再算乘除，最后算加减；除法通常先转化成乘法，再统一约分。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
倒数的认识	找乘积为 1 的两个数	会求分数、整数、小数的倒数，知道 0 没有倒数
分数除以整数	理解平均分与乘倒数的联系	会算 $\frac{4}{5}÷2$、$\frac{4}{5}÷3$
一个数除以分数	用线段图理解「包含几个」	会算 $\frac{3}{4}÷\frac{3}{8}$、$2÷\frac{4}{5}$
分数乘除混合运算	统一成乘法再约分	按顺序计算，结果化成最简
解决实际问题	找准单位「1」，列式或列方程	会检验答案是否符合题意

学习顺序不能颠倒：先认识倒数，才有转化工具；先理解除以整数的平均分，才能理解除以分数的「包含几个」；法则熟练后，混合运算和实际问题才有支撑。

倒数的认识

倒数描述的是两个数之间的一种关系，必须成对说。例如 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{5}{3}$ 互为倒数，不能说 $\frac{5}{3}$ 单独是倒数。

求倒数的方法：

• 分数的倒数：交换分子、分母，如 $\frac{7}{9}$ 的倒数是 $\frac{9}{7}$；
• 整数的倒数：$5=\frac{5}{1}$，倒数是 $\frac{1}{5}$；
• 小数的倒数：先化成分数，$0.25=\frac{1}{4}$，倒数是 4；
• 带分数的倒数：先化成假分数，$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，倒数是 $\frac{3}{5}$。

例：求 $\frac{5}{8}$、6、0.4 的倒数。

$\frac{5}{8}$ 的倒数是 $\frac{8}{5}$；6 的倒数是 $\frac{1}{6}$；$0.4=\frac{2}{5}$，倒数是 $\frac{5}{2}$。检验：$\frac{5}{8}\times \frac{8}{5}=1$，$6\times \frac{1}{6}=1$，$0.4\times \frac{5}{2}=1$。

易错提醒：0 没有倒数，因为找不到一个数与 0 相乘得 1；1 的倒数是它本身；倒数不是相反数，$\frac{3}{5}$ 的倒数是 $\frac{5}{3}$，相反数是 $-\frac{3}{5}$。

分数除以整数

例：一根彩带长 $\frac{4}{5}$ 米，平均剪成 2 段，每段长多少米？

把 $\frac{4}{5}$ 米平均分成 2 份，每份是 $\frac{4}{5}÷2$。除以 2 就是乘 $\frac{1}{2}$：

$\frac{4}{5}÷2=\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{5}\text{（米）}$

检验：$\frac{2}{5}\times 2=\frac{4}{5}$，答案正确。

如果分子能整除整数，也可以直接除：$\frac{4}{5}÷2=\frac{4÷2}{5}=\frac{2}{5}$。但分子不能整除时，不能硬除分子，例如 $\frac{3}{5}÷2$ 应算成 $\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$，不能写成 $\frac{3÷2}{5}$。

再算一题：$\frac{4}{5}÷3=\frac{4}{5}\times \frac{1}{3}=\frac{4}{15}$。检验：$\frac{4}{15}\times 3=\frac{4}{5}$。

易错提醒：除以整数时，被除数不变，只把除数变成它的倒数；结果要化成最简分数；能用约分先约分，计算更简便。

一个数除以分数

例：一根铁丝长 $\frac{3}{4}$ 米，每 $\frac{3}{8}$ 米剪一段，可以剪几段？

求 $\frac{3}{4}$ 里有几个 $\frac{3}{8}$，用除法：

$\frac{3}{4}÷\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\times \frac{8}{3}=2\text{（段）}$

检验：$\frac{3}{8}\times 2=\frac{3}{4}$，正好是铁丝总长。

为什么可以乘倒数？把 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{3}{8}$ 都化成八分之几：$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$，$\frac{6}{8}÷\frac{3}{8}=6÷3=2$。除以 $\frac{3}{8}$ 就是求有多少个「3 个八分之一」，所以等于乘 $\frac{8}{3}$。

整数除以分数同样适用：$2÷\frac{4}{5}=2\times \frac{5}{4}=\frac{5}{2}$，表示 2 里面有 2 个完整的 $\frac{4}{5}$，还多 $\frac{2}{5}$。

易错提醒：被除数保持原样，只把除数取倒数；除号必须改成乘号；如果除数是带分数，先化成假分数再取倒数；算出「段数」等实际数量时，要检查单位是否合理。

分数乘除混合运算

例 1：计算 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)÷\frac{5}{6}$。

先算括号：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$。再算除法：$\frac{5}{6}÷\frac{5}{6}=\frac{5}{6}\times \frac{6}{5}=1$。

例 2：计算 $\frac{3}{8}÷\frac{3}{4}÷\frac{5}{6}$。

连除要依次转化：

$\frac{3}{8}÷\frac{3}{4}÷\frac{5}{6}=\frac{3}{8}\times \frac{4}{3}\times \frac{6}{5}=\frac{3}{5}$

过程：$\frac{3}{8}\times \frac{4}{3}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}\times \frac{6}{5}=\frac{3}{5}$。

例 3：简算 $\frac{7}{9}÷5+\frac{2}{9}÷5$。

两个除法都除以 5，可以先合并被除数：

$\frac{7}{9}÷5+\frac{2}{9}÷5=\left(\frac{7}{9}+\frac{2}{9}\right)÷5=1÷5=\frac{1}{5}$

易错提醒：除法没有「把除数分配」的规律，$a÷(b+c)$ 不等于 $a÷b+a÷c$；但 $(a+b)÷c=a÷c+b÷c$ 成立。混合运算要先定顺序，再转化，最后约分。

本章的三条主线结论

1. 除法转乘法，工具是倒数：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数，被除数始终不变。
2. 两种意义要分清：分数除以整数是平均分，一个数除以分数是求包含多少个，两者都归结为同一个法则。
3. 先转化再计算：混合运算先算括号、再算乘除；连除依次转化，结果化成最简分数。

最易错：被除数也取倒数、0 的倒数、倒数与相反数混淆、连除只转化第一步。

自测

先自己计算，再看答案：

1. 求 $\frac{5}{8}$ 和 0.6 的倒数。——$\frac{8}{5}$；$0.6=\frac{3}{5}$，倒数是 $\frac{5}{3}$。
2. 计算 $\frac{6}{7}÷3$。——$\frac{6}{7}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{7}$。
3. 计算 $\frac{5}{6}÷\frac{10}{9}$。——$\frac{5}{6}\times \frac{9}{10}=\frac{3}{4}$。
4. 计算 $\frac{4}{5}÷\frac{2}{3}÷\frac{8}{15}$。——$\frac{4}{5}\times \frac{3}{2}\times \frac{15}{8}=\frac{9}{4}$。
5. 计算 $2÷\frac{4}{7}$。——$2\times \frac{7}{4}=\frac{7}{2}$。
6. 一根绳子长 $\frac{7}{8}$ 米，每 $\frac{7}{16}$ 米剪一段，可以剪几段？——$\frac{7}{8}÷\frac{7}{16}=2$ 段。

第 1 题出错说明倒数概念不牢；第 2、3 题出错说明被除数和除数处理反了；第 4 题出错说明连除转化不完整；第 5 题出错说明整数除以分数不熟；第 6 题出错说明没有把实际问题转化成除法。

课堂提示

• 本页难点：理解「除以一个数等于乘它的倒数」，并保持被除数不变。
• 一句提问：$\frac{3}{4}÷\frac{3}{8}$ 为什么可以看成 $\frac{3}{4}\times \frac{8}{3}$？
• 板书/操作：用两条等长纸条分别表示 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{3}{8}$，让学生动手剪一剪、数一数，再对照算式；把「除号变乘号、除数变倒数、被除数不变」写成三步口诀。

学完本章之后

• 第四单元《分数的应用》：用分数乘除法解决「求一个数的几分之几」和「已知部分求整体」两类问题，本章法则是列式的基础。
• 第五单元《比的认识》：比与除法相通，$a:b=a÷b$，化简比和求比值都会用到除法。
• 七年级的有理数运算：倒数、除法转化为乘法、运算顺序都会再次出现，并推广到负数和分式。

一句口诀收尾：除号变乘号，除数变倒数，被除数不动，结果要约好。