北师大版五年级上册第九单元《总复习》教材同步学习指南

本册知识地图

五年级上册共八个新授单元加一个总复习，可以归成三条线：数与运算、图形与几何、统计与概率。先把每个单元的核心内容找回来，再做综合题，复习才不会变成重复做题。

• 第一单元 小数的再认识和加减法：小数的意义、性质、大小比较，小数加减法与混合运算。
• 第二单元 三角形的再认识：三角形的边、角、高，三边关系，内角和 $180^{\circ }$，按角和按边分类。
• 第三单元 小数乘法：小数乘整数、小数乘小数、积的近似数，整数乘法运算定律推广到小数。
• 第四单元 用字母表示（一）：用字母表示数与数量关系，方程的意义，等式的性质与解方程。
• 第五单元 多边形的面积：平行四边形、三角形、梯形的面积公式，组合图形的面积。
• 第六单元 图形的位置与运动（一）：用数对表示位置，在方格纸上根据数对找点，图形的平移与数对变化。
• 第七单元 倍数与因数：因数与倍数，$2$、$5$、$3$ 的倍数特征，质数与合数，奇偶性。
• 第八单元 可能性：一定、可能、不可能，可能性的大小，公平游戏。
• 第九单元 总复习：把上述内容串成网络，重点练综合应用与易错点。

三条线不是彼此孤立的：小数计算支撑面积计算，因数倍数支撑分数运算，数对与平移又为六年级确定位置和初中坐标系铺路。

复习可以分三步走：第一步按单元把概念和公式过一遍，第二步按三条线做综合题，第三步只看错题本，把仍然出错的题重新讲一遍。三步走完，比盲目刷题更省时间。

学习顺序

单元	核心内容	复习重点
第一单元 小数的再认识和加减法	小数的意义、性质、加减法	小数点对齐与补 $0$
第二单元 三角形的再认识	三边关系、内角和、分类	两条短边之和与 $180^{\circ }$
第三单元 小数乘法	小数乘法、近似数、简算	积的小数位数与末尾 $0$
第四单元 用字母表示（一）	字母式、方程、等式性质	$a^2$ 与 $2a$、解方程检验
第五单元 多边形的面积	三个面积公式、组合图形	底高对应、除以 $2$
第六单元 图形的位置与运动（一）	数对、方格纸找点、平移	先列后行、平移规律
第七单元 倍数与因数	因数倍数、倍数特征、质合、奇偶	二五看个位，三看各位和
第八单元 可能性	一定可能不可能、可能性大小	数量多可能性大，公平

复习时先按表格逐行自问「这个单元我最怕哪道题」，把薄弱点标出来，再进入下面的分块综合。

九个单元不必平均用力：第一、三、五、七单元是本册的四大重点，第二、六单元重在图意，第四、八单元重在理解，总复习则负责把它们串起来。

数与运算

数与运算包括第一、三、七单元，第四单元的用字母表示与解方程也放在这一块复习。核心是小数四则运算的算理、运算律的简算，以及因数倍数中的判断与分类。

复习计算先抓三件事：小数加减法把小数点对齐，位数不同时补 $0$；小数乘法先按整数算，再数两个因数一共有几位小数；能简算的，先看运算律是否适用。比如 $20-4.75$ 要写成 $20.00-4.75=15.25$，$1.25\times 8$ 先算 $125\times 8=1000$，再点两位小数得 $10$。

简算要有依据：$3.6\times 2.5+6.4\times 2.5=(3.6+6.4)\times 2.5=25$，用的是乘法分配律；$15.7-3.8-6.2=15.7-(3.8+6.2)=5.7$，用的是减法的性质。

算完可以用估算或逆运算检查，把答案代回原题，比重新算一遍更容易发现错误。

例 1：妈妈买 $2.5$ 千克苹果，每千克 $7.6$ 元，付给收银员 $20$ 元，应找回多少元？

先算总价：$7.6\times 2.5=19$（元）；再算找回：$20-19=1$（元）。数量关系是总价等于单价乘数量，找回等于付款减总价。

例 2：解方程 $2x-5=11$，并检验。

两边同时加 $5$：$2x=16$；两边同时除以 $2$：$x=8$。检验：$2\times 8-5=11$，左右相等，解正确。解方程的依据是等式性质，求出解后要代回原方程检验。

因数倍数重点在判断：$2$、$5$ 的倍数看个位，$3$ 的倍数看各位数字之和。$255$ 的各位和是 $2+5+5=12$，所以它是 $3$ 的倍数，个位是 $5$ 又是 $5$ 的倍数；$255=3\times 5\times 17$，还是合数。$1$ 既不是质数也不是合数，$2$ 是唯一的偶质数。

找因数要成对找，一个数的因数个数有限，倍数个数无限；判断较大的数是不是质数，可以用质数依次试除。

易错：小数加减法与乘法不能用同一套对齐方式，加减法对齐小数点，乘法按整数算完再点小数点；判断 $3$ 的倍数不能看个位。

图形与几何

图形与几何包括第二、五、六单元。主线是三角形的边角关系、多边形面积的转化与计算、数对与平移。

三角形的三条边要满足任意两边之和大于第三边；内角和是 $180^{\circ }$，已知两个角就能求第三个角。比如两个角是 $65^{\circ }$ 和 $45^{\circ }$，第三个角是 $180^{\circ }-65^{\circ }-45^{\circ }=70^{\circ }$，三个角都是锐角，所以是锐角三角形。

面积公式都来自转化：平行四边形剪拼成长方形，三角形、梯形拼成平行四边形。计算时先确认底和高互相对应，三角形、梯形还要除以 $2$。组合图形先分割或添补，做到不重不漏，单位不同时先统一。

例 1：一块梯形菜地，上底 $12$ 米、下底 $18$ 米、高 $10$ 米，每平方米收白菜 $3.5$ 千克，这块地一共收白菜多少千克？

先求面积：$(12+18)\times 10÷2=30\times 10÷2=150$（平方米）；再求总产量：$150\times 3.5=525$（千克）。数量关系是总产量等于每平方米产量乘面积。

例 2：点 $A(2,3)$ 先向右平移 $4$ 格，再向上平移 $2$ 格，最后的位置用数对怎样表示？

向右列加 $4$ 得 $(6,3)$，向上行加 $2$ 得 $(6,5)$，最后是 $(6,5)$。数对先列后行，左右平移只改列，上下平移只改行；倒推原来的位置时，加减要反过来。

组合图形可以拆成基本图形分别算：长 $10$ 米、宽 $6$ 米的长方形面积是 $60$ 平方米，底 $10$ 米、高 $4$ 米的三角形面积是 $10\times 4÷2=20$ 平方米，合起来是 $80$ 平方米。

易错：面积公式中三角形、梯形要除以 $2$；数对平移只改一个数，左右改列、上下改行，不要两个数一起加减。

统计与概率

统计与概率在本册只有第八单元，但它是初中概率的起点，复习时要抓住「可能性大小」和「公平」。

例 1：盒子里有 $3$ 个红球、$2$ 个白球、$1$ 个黄球，任意摸一个。

摸到红球的可能性最大，因为红球最多；摸到黄球的可能性最小，因为黄球最少；三种颜色都可能摸到，但摸到红球不是一定。若要设计一个公平的两人游戏，可以放入相同数量的两种球，例如 $3$ 红 $3$ 白。

例 2：转盘分成 $8$ 个大小相同的扇形，红色占 $3$ 份、蓝色占 $5$ 份，用指针停在哪个区域决定胜负，公平吗？怎样改公平？

蓝色占的份数多，停在蓝色区域的可能性大，游戏不公平。把红色和蓝色改成各占 $4$ 份，双方机会相等，游戏就公平了。

易错：可能性大不等于一定发生；判断游戏公平要看双方机会是否相等，不能只看有几种颜色。

本章的三条主线结论

1. 计算靠算理：小数加减对齐小数点，小数乘法先按整数乘再点小数点，简算要有依据。
2. 图形靠转化与对应：面积公式由转化推导而来，底与高必须对应，三角形、梯形别忘除以 $2$。
3. 数论与统计靠分类比较：因数倍数、质数合数、奇数偶数都按标准分类；可能性大小按数量比较。

最易错：小数点位置、面积公式漏除以 $2$、$1$ 当质数、数对写反和平移格数数错。

自测

先自己算，再看答案：

1. 计算 $20-4.75$。——$20.00-4.75=15.25$。
2. 计算 $1.25\times 8$。——$125\times 8=1000$，两位小数，得 $10$。
3. $3.14\times 2.6$ 的积保留两位小数是多少？——$8.164$ 保留两位得 $8.16$。
4. 三角形两个角是 $50^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$，第三个角是多少度？——$180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$。
5. 梯形上底 $4$ 米、下底 $8$ 米、高 $5$ 米，面积是多少？——$(4+8)\times 5÷2=30$ 平方米。
6. 写出 $24$ 的全部因数，并判断 $91$ 是质数还是合数。——$24$ 的因数是 $1,2,3,4,6,8,12,24$；$91=7\times 13$，是合数。
7. 点 $A(2,4)$ 向右平移 $5$ 格后的数对是多少？——$(7,4)$。
8. 盒子里有 $5$ 个红球、$1$ 个白球，摸到红球的可能性大吗？摸一次一定摸到红球吗？——可能性大；不一定，仍可能摸到白球。

第 1 题出错说明小数点对齐或补 $0$ 不熟；第 2、3 题出错说明积的小数位数与近似数没掌握；第 4 题出错说明内角和不会用；第 5 题出错说明梯形公式漏除以 $2$；第 6 题出错说明因数倍数与质数判断不牢；第 7 题出错说明平移规律用反；第 8 题出错说明把可能性大当成了必然。

课堂提示

• 本页难点：把分散的单元知识串成三条线，并在综合题中选对方法。
• 一句提问：看到「面积」两个字，你先写公式还是先代数字？
• 课堂操作：让学生把本册错题按「计算、图形、数论与统计」三类贴到三张纸上，每类挑一道最有代表性的题重做并讲给同伴听；讲不清的地方回到对应单元复习。
• 可复述的话：计算先想算理，图形先写公式，判断先找标准；复习不是重做一遍，而是把错题弄懂。

学完本章之后

• 五年级下册：小数除法、分数加减法、长方体与正方体，本册的小数计算、因数倍数和面积经验都会继续使用。
• 六年级上册：圆、百分数、比与确定位置，图形与数量关系进一步综合。
• 初中：平面直角坐标系、一元一次方程、概率初步，都能在本册找到直观起点。

一句口诀收尾：小数对齐点，图形底高连；因数看特征，数对列在前；复习抓错题，三条线串全。