北师大版六年级上册第二单元《圆》教材同步学习指南

定义

圆：平面上到定点距离等于定长的所有点组成的封闭曲线。定点叫圆心，通常用 $O$ 表示；定长叫半径，用 $r$ 表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段。同一个圆里，所有半径都相等，半径有无数条。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用 $d$ 表示。同一个圆里，$d=2r$，$r=d÷2$，直径也有无数条。

圆周率：圆的周长与直径的比值，用 $\pi$ 表示，$\pi \approx 3.14$。周长公式是 $C=\pi d=2\pi r$。

圆的面积：圆所占平面的大小，公式是 $S=\pi r^2$。这个公式由「化曲为直」的转化方法推导得到。

扇形：圆上两条半径和这两条半径所夹的一段弧围成的图形。两条半径的夹角叫圆心角。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
圆的认识	认识圆心、半径、直径，学会画圆	会用圆规画指定半径的圆
圆的周长	测量周长，认识圆周率	掌握 $C=\pi d=2\pi r$
圆的面积	化曲为直，推导面积公式	掌握 $S=\pi r^2$
扇形	认识弧、圆心角与扇形	会判断扇形并比较大小
组合图形	圆与正方形、圆环的面积	会用割补、相减求面积

学习顺序有内在联系：认识圆才能量圆，量出周长才能发现 π，把圆转化成长方形才能推出面积公式，扇形和组合图形则是公式的应用。

圆的认识

圆有两个关键要素：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。圆心相同、半径不同的两个圆叫同心圆。

同一个圆里，半径有无数条且长度都相等，直径有无数条且长度都相等，直径是半径的 2 倍。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。

例：用圆规画一个半径 2 厘米的圆，并说出它的直径。

把圆规两脚分开 2 厘米，针尖固定在纸上作为圆心，旋转一周画出圆。这个圆的直径是 $2\times 2=4$ 厘米；在圆上画一条最长的线段，它一定经过圆心，长度就是 4 厘米。

易错提醒：直径必须经过圆心，两端都在圆上，缺一不可；半径是一条线段，不是圆上的一段曲线；画圆时圆规两脚的距离是半径，不是直径。

圆的周长

测量圆的周长常用两种方法：绕绳法是把绳子沿圆边绕一圈再拉直测量；滚动法是把圆在直尺上滚一周，读出滚过的长度。

无论圆大圆小，周长总是直径的 3 倍多一些，这个固定的比值叫圆周率。因此：

$C=\pi d=2\pi r$

例 1：一个圆形花坛的直径是 8 米，绕花坛一周是多少米？如果每隔 1.57 米摆一盆花，需要多少盆？

周长 $C=3.14\times 8=25.12$ 米。花的盆数 $25.12÷1.57=16$ 盆。因为是封闭的一圈，首尾相接，盆数等于间隔数，不用再加 1。

例 2：半径 3 厘米的半圆，周长是多少？

半圆的周长由半个圆弧和一条直径组成：

$3.14\times 3+2\times 3=9.42+6=15.42\text{（厘米）}$

易错提醒：半圆周长不是圆周长的一半，必须加上直径；周长的单位是厘米、米等长度单位，不能写成平方厘米；计算时先分清给的是半径还是直径。

圆的面积

把圆平均分成若干个小扇形，再交错拼起来，可以拼成一个近似的长方形。分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。

长方形的长相当于圆周长的一半，即 $\pi r$；宽相当于半径 $r$。所以：

$S=\pi r\times r=\pi r^2$

例 1：直径 10 厘米的圆，面积是多少？

先求半径：$r=10÷2=5$ 厘米。面积 $S=3.14\times 5^2=3.14\times 25=78.5$ 平方厘米。

例 2：一个圆的面积是 28.26 平方厘米，它的半径是多少？

由 $3.14\times r^2=28.26$，得 $r^2=9$，所以 $r=3$ 厘米，直径是 6 厘米。

例 3：圆环外半径 6 厘米，内半径 4 厘米，圆环面积是多少？

$S=3.14\times (6^2-4^2)=3.14\times (36-16)=3.14\times 20=62.8\text{（平方厘米）}$

易错提醒：已知直径求面积，必须先除以 2 得到半径；不要用 $3.14\times d^2$；面积单位是平方厘米、平方米，和周长单位区分开。

扇形

圆上两点之间的部分叫弧。一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形叫扇形。扇形的大小与圆心角和半径都有关。

在同一个圆里，圆心角越大，扇形越大。圆心角 90° 的扇形是整个圆的四分之一，圆心角 180° 的扇形是半圆。

例：一个半径 6 厘米的圆中，圆心角 90° 的扇形面积是多少？

这个扇形占整个圆的 $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，所以面积是：

$3.14\times 6^2\times \frac{1}{4}=113.04\times \frac{1}{4}=28.26\text{（平方厘米）}$

易错提醒：扇形一定有两条半径和一段弧，只有弧没有半径不是扇形；半圆也是扇形，它的圆心角是 180°；扇形的周长包括两条半径和一段弧，不只是弧长。

组合图形

圆常常和正方形、长方形组合在一起，解题时先看清哪部分面积相减或相加。

例 1：正方形边长 4 分米，在正方形内画一个最大的圆，圆的面积是多少？剩下的面积是多少？

最大的圆直径等于正方形边长，所以 $d=4$ 分米，$r=2$ 分米。圆面积 $3.14\times 2^2=12.56$ 平方分米；正方形面积 $4\times 4=16$ 平方分米；剩下 $16-12.56=3.44$ 平方分米。

例 2：一个圆环，外圆半径 5 厘米，内圆半径 3 厘米，求圆环面积。

$3.14\times (5^2-3^2)=3.14\times 16=50.24\text{（平方厘米）}$

易错提醒：求「剩下多少」用大面积减小面积，不要把小面积加大面积；圆环的内外半径要分清；组合图形的单位要统一后再计算。

本章的三条主线结论

1. 圆心和半径决定圆：圆心定位置，半径定大小，同圆中 $d=2r$，圆有无数条对称轴。
2. 周长和面积是两件事：周长量一圈的长度，用 $C=\pi d=2\pi r$；面积量面的大小，用 $S=\pi r^2$。
3. 转化是推导公式的钥匙：周长由测量发现 π，面积由拼成长方形推出，组合图形靠割补和相减。

最易错：直径当半径、半圆周长漏直径、周长面积公式混用、3.14 与 π 不分。

自测

先自己计算，再看答案：

1. 半径 4 厘米的圆，直径和周长各是多少？——$d=8$ 厘米，$C=3.14\times 8=25.12$ 厘米。
2. 直径 6 厘米的圆，面积是多少？——$r=3$ 厘米，$S=3.14\times 9=28.26$ 平方厘米。
3. 半径 2 米的半圆，周长是多少？——$3.14\times 2+2\times 2=10.28$ 米。
4. 外半径 5 厘米、内半径 3 厘米的圆环，面积是多少？——$3.14\times (25-9)=50.24$ 平方厘米。
5. 半径 4 厘米的圆中，圆心角 90° 的扇形面积是多少？——$3.14\times 16\times \frac{1}{4}=12.56$ 平方厘米。
6. 正方形边长 6 厘米，里面画一个最大的圆，剩下部分的面积是多少？——圆面积 $3.14\times 3^2=28.26$ 平方厘米，剩下 $36-28.26=7.74$ 平方厘米。

第 1、2 题出错说明半径与直径混用；第 3 题出错说明半圆周长漏加直径；第 4 题出错说明圆环面积用错半径；第 5 题出错说明扇形与整个圆的比例没找对；第 6 题出错说明组合图形不会相减。

课堂提示

• 本页难点：区分周长与面积，理解半圆周长为什么要加直径。
• 一句提问：把圆拼成长方形后，长方形的长和宽分别相当于圆的什么？
• 板书/操作：准备一个圆形纸片，先沿边绕绳量周长，再剪成若干扇形拼成长方形；用红笔标出长方形的长 $\pi r$ 和宽 $r$，让学生看着图形说公式。

学完本章之后

• 六年级下册《圆柱与圆锥》：圆柱的底面是圆，侧面积展开是长方形，体积和表面积都要用到圆的周长、面积公式。
• 初中的圆：会继续学习弧长、扇形面积、圆心角和圆周角，本章的半径、直径、圆心角是基础。
• 生活应用：圆形花坛、井盖、车轮、圆桌，处处都能找到圆和扇形的影子。

一句口诀收尾：圆心定位置，半径定大小；周长 πd 走一圈，面积 πr² 占满圆；半圆周长加直径，组合图形善相减。