北师大版四年级上册第七单元《运用数量关系解决问题》教材同步学习指南

定义

本单元把小学阶段最常见的几类数量关系集中起来：部分与整体、购物、行程，以及两个物体相向而行的相遇问题。

总量与分量：几个部分合起来是一个整体。总量 $=$ 分量 $+$ 分量；一个分量 $=$ 总量 $-$ 另一个分量。

单价、数量、总价：单价是每件商品的价钱，数量是买的件数，总价是一共花的钱。总价 $=$ 单价 $\times$ 数量。

速度、时间、路程：速度是单位时间内走的路程，时间是走了多久，路程是一共走了多远。路程 $=$ 速度 $\times$ 时间。

相遇问题：两个物体从两地同时出发，相向而行，经过一段时间相遇。相遇时两个物体走的路程之和等于两地距离。

线段图：用一条线段表示总量，把它分成几段表示分量，或把两段拼起来表示路程和，是分析数量关系的好帮手。

本单元的四个内容看似不同，其实都在研究整体与部分、每份数与份数之间的关系。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
总量与分量	分清整体与部分	会画线段图，会求总量或分量
单价、数量、总价	建立购物模型	会求总价、单价、数量
速度、时间、路程	建立行程模型	会求路程、速度、时间
相遇问题	把两段路程合起来	会用速度和求相遇时间
综合应用	选择合适的关系式	会列式、会检验

先学分总量与分量，建立「整体与部分」的眼光；再学购物和行程，最后把两个运动物体合在一起，研究相遇问题。

总量与分量

例：图书馆有科技书 320 本，故事书 480 本，两种书一共有多少本？

数量关系：总量 $=$ 分量 $+$ 分量，列式 $320+480=800$（本）。

反过来，已知一共 800 本，其中科技书 320 本，故事书有多少本？$800-320=480$（本）。

如果有三个分量，就把三个分量都加起来。上午借出 180 本，下午借出 220 本，还剩 150 本，原来一共有多少本？$180+220+150=550$（本）。

易错：求总量用加法，求分量用减法，不要看到「一共」就加、看到「还剩」就减，要先判断谁是整体、谁是部分。

单价、数量、总价

三者的关系可以写成三个算式：

已知	求	关系式
单价、数量	总价	总价 $=$ 单价 $\times$ 数量
总价、数量	单价	单价 $=$ 总价 $÷$ 数量
总价、单价	数量	数量 $=$ 总价 $÷$ 单价

例 1：每支笔 6 元，买 5 支，一共多少元？$6\times 5=30$（元）。

例 2：3 个足球一共 195 元，每个足球多少元？$195÷3=65$（元）。买 5 个这样的足球需要多少元？$65\times 5=325$（元）。

易错：先看清已知的是总价还是单价。195 元是 3 个足球的总价，不是单价；求单价要用总价除以数量。

速度、时间、路程

速度、时间、路程的关系与单价、数量、总价的结构完全一样：

已知	求	关系式
速度、时间	路程	路程 $=$ 速度 $\times$ 时间
路程、时间	速度	速度 $=$ 路程 $÷$ 时间
路程、速度	时间	时间 $=$ 路程 $÷$ 速度

例：一辆汽车每小时行 80 千米，3 小时行多少千米？$80\times 3=240$（千米）。行 240 千米用了 3 小时，速度是 $240÷3=80$（千米/时）。

速度的单位是复合单位，写作「千米/时」「米/分」「米/秒」，读作「千米每时」。只写「80 千米」表示的是路程，不是速度。

易错：速度和时间相乘得路程，但单位要对应。速度用千米/时，时间就要用小时；速度用米/分，时间就要用分钟。

相遇问题

例：甲、乙两地相距 520 千米，两辆汽车同时从两地相对开出，速度分别是 70 千米/时和 60 千米/时，经过几小时相遇？

两车相向而行，每过 1 小时，两车一共靠近 $70+60=130$（千米），这个 130 千米/时就是速度和。

相遇时间 $=$ 总路程 $÷$ 速度和：

$520÷(70+60)=520÷130=4$

所以经过 4 小时相遇。

检验：甲车 4 小时行 $70\times 4=280$ 千米，乙车 4 小时行 $60\times 4=240$ 千米，$280+240=520$ 千米，正好是两地距离。

易错：相遇问题求时间要用速度和，不能用速度差。速度差用于追及问题，本单元研究的是相向而行。

综合应用与检验

例 1：小明和小红从相距 600 米的两地同时出发，相向而行。小明每分钟走 70 米，小红每分钟走 50 米，几分钟后相遇？

速度和 $70+50=120$（米/分），相遇时间 $600÷120=5$（分）。

例 2：一辆汽车 2 小时行 160 千米，照这样的速度，5 小时行多少千米？

先求速度：$160÷2=80$（千米/时）；再求路程：$80\times 5=400$（千米）。

这类题先求出「每份数」，再求新的总量，叫归一问题。它的根仍然是「路程 $=$ 速度 $\times$ 时间」。

易错：综合题不要急着列式，先写数量关系，再代入数据。算完用估算或倒推检验，看结果是否合理。

本章的三条主线结论

1. 整体与部分要分清：总量等于各分量之和，已知整体求部分用减法；购物、行程中的总价、路程也可以看成某种「总量」。
2. 数量关系结构相同：总价 $=$ 单价 $\times$ 数量，路程 $=$ 速度 $\times$ 时间，本质都是「总量 $=$ 每份数 $\times$ 份数」。
3. 相遇问题看速度和：两车相向而行，路程和等于速度和乘相遇时间，检验时把两段路程加起来。

最易错：单价与总价混淆；速度单位漏写时间；相遇问题误用速度差；总量与分量判断反。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 一本书共 240 页，已经读了 85 页，还剩多少页？——$240-85=155$ 页。
2. 每本练习本 8 元，买 12 本需要多少元？——$8\times 12=96$ 元。
3. 3 个足球共 195 元，每个足球多少元？——$195÷3=65$ 元。
4. 汽车每小时行 90 千米，4 小时行多少千米？——$90\times 4=360$ 千米。
5. 两地相距 600 米，两人同时相向而行，速度分别是 70 米/分和 50 米/分，几分钟相遇？——$600÷(70+50)=5$ 分钟。
6. 3 箱牛奶共 144 元，买 5 箱需要多少元？——$144÷3=48$ 元，$48\times 5=240$ 元。

第 1 题出错说明总量与分量关系不清；第 2、3 题出错说明单价、数量、总价对应错；第 4 题出错说明速度时间路程不熟；第 5 题出错说明相遇问题没有用速度和；第 6 题出错说明归一问题不会先求单价。

课堂提示

• 本页难点：相遇问题中速度和的理解、速度复合单位的书写。
• 一句提问：两车面对面开，1 小时一共靠近多少千米？
• 板书/操作：请两名学生从教室两端同时走向对方，每走 1 分钟报一次位置，把两段路程画在同一条线段上，直观看到「路程和等于全程」。

学完本章之后

• 本册总复习：把大数、乘法、运算律和数量关系串起来，解决综合问题。
• 四年级下册：继续学习小数与平面图形，本单元的数量关系会在五年级用字母和方程进一步表示。
• 五年级上册《小数乘法》：单价、数量、总价与速度、时间、路程中的数变成小数，关系式不变。
• 生活应用：购物比价、规划出行时间、计算两地距离，都要用到本单元的数量关系。

一句口诀收尾：总量分量和与差，单价数量乘总价；速度时间乘路程，相遇要把速度和。