北师大版五年级上册第二单元《三角形的再认识》教材同步学习指南

定义

本章在四年级《线与角》的基础上，把三角形从「认得出」推进到「说得清」。主线是：认识三角形 → 三边关系 → 内角和 → 分类。

三角形：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形，这三条线段不在同一条直线上。三角形有 $3$ 条边、$3$ 个角和 $3$ 个顶点。

高：从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做底。一个三角形有三条高。

三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；反过来，任意两边之差小于第三边。

内角和：三角形三个内角的度数和是 $180^{\circ }$。无论三角形大小、形状如何，这个结论都成立。

分类：按角分，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分，有等腰三角形和不等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

三角形还具有稳定性：三条边确定后，三角形的形状和大小就确定了，所以自行车架、电线杆支架、屋顶桁架都做成三角形。

学习顺序

学习内容	核心任务	关键产出
三角形的认识	认识边、角、顶点和高	会画三条高，能说出稳定性
三角形三边关系	判断三条线段能否围成三角形	会用两条较短边之和比较
三角形内角和	通过量、拼、折验证 $180^{\circ }$	会求三角形中的未知角
三角形的分类	按角和按边两个标准分类	能按标准说清图形类别
整理与应用	综合判断边角关系	能解释支架、围栏中的道理

顺序不能颠倒：先认清边和角，才画得准高；会画高，三边关系与内角和才有具体的图形依托；前两项扎实，分类才不会只看一个角就下结论。

三角形的认识与高

三角形有三个顶点、三条边和三个角。顶点通常用大写字母表示，如三角形 $ABC$。

画高的步骤：把三角尺的一条直角边与底边重合，另一条直角边经过对面的顶点，从顶点向底边作垂线，顶点到垂足之间的线段就是高。底边不够长时，要把底边延长后再画。

例 1：在三角形 $ABC$ 中，画出 $BC$ 边上的高。

从顶点 $A$ 向 $BC$ 所在的直线作垂线，垂足为 $D$，线段 $AD$ 就是 $BC$ 边上的高。同样，从 $B$ 向 $AC$ 作高，从 $C$ 向 $AB$ 作高，一共可以画三条高。

锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的一条直角边是另一条直角边上的高，两条直角边互为底和高；钝角三角形有两条高落在三角形外部。

易错：高必须与底垂直，不能凭目测画一条「看起来差不多」的线；钝角三角形的高在形外，不要因为画不出形内高就认为没有高。

三角形三边关系

把三条线段首尾相接，如果围不成三角形，说明其中两条线段加起来还不够跨过第三条。由此得到：三角形任意两边之和大于第三边。

判断时不必把三组都算一遍，只要挑出最长边，看另外两条较短边之和是否大于它。

例 1：判断 $3$ 厘米、$4$ 厘米、$5$ 厘米能否围成三角形。

最长边是 $5$ 厘米，$3+4=7>5$，所以能围成三角形。

例 2：判断 $2$ 厘米、$3$ 厘米、$6$ 厘米能否围成三角形。

$2+3=5<6$，两条短边接起来还够不到最长边，不能围成。

例 3：等腰三角形的两条边分别是 $4$ 厘米和 $8$ 厘米，第三边是多少厘米？周长是多少？

若 $4$ 厘米是腰，则 $4+4=8$，不大于第三边 $8$ 厘米，围不成；所以 $8$ 厘米是腰，第三边也是 $8$ 厘米。周长 $8+8+4=20$ 厘米。

易错：等腰三角形已知两边求第三边，必须把两种可能都检验一遍；$5$ 厘米、$5$ 厘米、$10$ 厘米虽然有两边相等，但 $5+5=10$，仍然围不成三角形。

三角形内角和

把三角形的三个角撕下来，顶点拼在一起，正好拼成一个平角，所以内角和是 $180^{\circ }$。也可以用折纸把三个角折到同一条直线上，或者用量角器分别量出三个角再相加。

例 1：三角形中两个角分别是 $50^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$，第三个角是多少度？

$180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$。

例 2：直角三角形的一个锐角是 $35^{\circ }$，另一个锐角是多少度？

直角是 $90^{\circ }$，$180^{\circ }-90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$，也可以直接用 $90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$。

例 3：等腰三角形的顶角是 $40^{\circ }$，每个底角是多少度？

两个底角相等，$(180^{\circ }-40^{\circ })÷2=140^{\circ }÷2=70^{\circ }$。

例 4：等边三角形的每个角是多少度？

三个角相等，$180^{\circ }÷3=60^{\circ }$。

易错：$180^{\circ }$ 是三个角的和，不是每个角都是 $180^{\circ }$；已知顶角求底角时，要先减去顶角再除以 $2$，不能直接除以 $3$。

三角形的分类

按角分类，看三个角中最大的那个角：三个角都是锐角的是锐角三角形；有一个角是直角的是直角三角形；有一个角是钝角的是钝角三角形。

按边分类，看三条边的关系：三条边都不相等的是不等边三角形；有两条边相等的是等腰三角形；三条边都相等的是等边三角形。

两类标准可以叠加使用，例如「等腰直角三角形」既按边是等腰，又按角是直角。

例 1：一个三角形的两个角是 $50^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$，它是什么三角形？

第三个角是 $70^{\circ }$，三个角都是锐角，所以是锐角三角形。

例 2：等腰三角形的一个角是 $100^{\circ }$，它是什么三角形？

$100^{\circ }$ 只能是顶角，两个底角是 $(180^{\circ }-100^{\circ })÷2=40^{\circ }$，有一个钝角，所以是钝角三角形。

例 3：一个三角形既是等腰三角形又是直角三角形，它的三个角分别是多少度？

直角是 $90^{\circ }$，另外两个角相等，$(180^{\circ }-90^{\circ })÷2=45^{\circ }$，三个角是 $90^{\circ }$、$45^{\circ }$、$45^{\circ }$。

易错：不能因为一个三角形有两个锐角就判它是锐角三角形，任何三角形都至少有两个锐角；等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。

本章的三条主线结论

1. 三边关系只看两条短边：两条较短边之和大于最长边，就能围成三角形；小于或等于都不行。
2. 内角和是求角的工具：知道任意两个角，就能求出第三个角；等腰、等边三角形还要结合边相等。
3. 分类要按标准看全部：按角看最大角，按边看三条边，不能凭一个角或一条边下结论。

最易错：三边关系漏检验、等腰求第三边不分类讨论、把「有两个锐角」当成锐角三角形。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 三条线段长 $3$ 厘米、$5$ 厘米、$7$ 厘米，能围成三角形吗？——能，$3+5=8>7$。
2. 三条线段长 $4$ 厘米、$4$ 厘米、$8$ 厘米，能围成三角形吗？——不能，$4+4=8$，等于最长边。
3. 三角形两个角是 $45^{\circ }$ 和 $65^{\circ }$，第三个角是多少度？——$180^{\circ }-45^{\circ }-65^{\circ }=70^{\circ }$。
4. 等腰三角形的顶角是 $80^{\circ }$，底角是多少度？——$(180^{\circ }-80^{\circ })÷2=50^{\circ }$。
5. 等边三角形的每个角是多少度？按角分是什么三角形？——每个角 $60^{\circ }$，是锐角三角形。
6. 直角三角形的一个锐角是 $30^{\circ }$，另一个锐角是多少度？——$90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$。

第 1、2 题出错说明三边关系没有用两条短边比较；第 3 题出错说明内角和不会用；第 4 题出错说明等腰三角形底角要除以 $2$；第 5、6 题出错说明特殊三角形的角的关系不熟。

课堂提示

• 本页难点：钝角三角形的高在形外；等腰三角形已知两边求第三边要分类检验。
• 一句提问：$5$ 厘米、$5$ 厘米、$10$ 厘米的三根小棒，为什么围不成三角形？
• 课堂操作：每组发三根小棒（$3$、$4$、$5$ 厘米和 $2$、$3$、$6$ 厘米各一套），先围一围，再把结果记在表里；随后把三角形三个角撕下来拼一拼，看看是不是平角。
• 可复述的话：两条短边合起来必须比最长边长；三个内角合起来正好是一个平角。

学完本章之后

• 第五单元《多边形的面积》：三角形面积 $S=ah÷2$ 中的底和高，就是本章画高、认底的本领。
• 六年级上册《圆》：从直线图形走向曲线图形，继续用转化和推理研究图形。
• 初中几何：三角形内角和、三边关系会作为证明的起点，分类讨论的思想也会一直沿用。

一句口诀收尾：短边相加比长边，等于也不行；内角和是一百八，等腰底角要平分。