人教A版选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》教材同步学习指南

定义

本章是解析几何的入门，核心思想是坐标法：在平面直角坐标系中，点对应坐标 $(x,y)$，直线对应二元一次方程 $Ax+By+C=0$，圆对应二元二次方程，几何问题随之转化为代数问题——交点是方程组的解，位置关系是距离的比较或判别式的符号。

直线的倾斜程度用倾斜角 $\alpha$（$x$ 轴正向与直线向上的方向所成的角，$\alpha \in [0,\pi )$）和斜率 $k=\tan \alpha$（$\alpha \ne 90^{\circ }$）刻画。全章沿「斜率 → 直线方程 → 交点与距离 → 圆的方程 → 位置关系」推进，为第三章圆锥曲线打好工具底座。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1.1 倾斜角与斜率	倾斜程度代数化	$\alpha \in [0,\pi )$；$k=\tan \alpha$；$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
2.1.2 平行与垂直的判定	两直线关系	$l_1\parallel l_2\iff k_1=k_2$；$l_1\perp l_2\iff k_1{k}_2=-1$（斜率存在时）
2.2.1 点斜式方程	一点一斜率定直线	$y-y_0=k(x-x_0)$；竖直线 $x=x_0$
2.2.2 两点式方程	两点定直线	$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$；截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
2.2.3 一般式方程	统一形式	$Ax+By+C=0$（$A,B$ 不同时为 0）
2.3.1 两条直线的交点坐标	方程组的解	唯一解相交、无解平行、无穷多解重合
2.3.2 两点间的距离公式	度量工具	$|P_1{P}_2|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
2.3.3 点到直线的距离公式	度量工具	$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
2.3.4 两条平行直线间的距离	度量工具	$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
2.4.1 圆的标准方程	圆心半径代数化	$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
2.4.2 圆的一般方程	二元二次方程	$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$）
2.5.1 直线与圆的位置关系	$d$ 与 $r$ 比较	相离、相切、相交；弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$
2.5.2 圆与圆的位置关系	圆心距与半径	外离、外切、相交、内切、内含

2.1 直线的倾斜角与斜率

直线向上的方向与 $x$ 轴正方向所成的角叫倾斜角 $\alpha$，范围 $[0,\pi )$。$\alpha \ne 90^{\circ }$ 时定义斜率 $k=\tan \alpha$；$\alpha =90^{\circ }$（直线垂直于 $x$ 轴）时斜率不存在。已知两点 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$（$x_1\ne x_2$），斜率公式

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

平行与垂直的判定（2.1.2）：两直线斜率都存在时，$l_1\parallel l_2\iff k_1=k_2$（且不重合）；$l_1\perp l_2\iff k_1{k}_2=-1$。注意判定时必须先确认斜率存在：一条斜率为 0（水平）、一条斜率不存在（竖直）的两直线也互相垂直。

2.2 直线的方程

按已知条件选形式：

1. 点斜式：过 $(x_0,y_0)$、斜率 $k$，方程 $y-y_0=k(x-x_0)$。局限：不能表示竖直线。
2. 两点式：过 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，方程 $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$（要求 $x_1\ne x_2$ 且 $y_1\ne y_2$）。特例是截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（$a,b$ 为横、纵截距，均不为 0）。
3. 一般式：$Ax+By+C=0$（$A,B$ 不同时为 0），能表示平面内所有直线，是距离公式与理论研究的基准形式。

三种形式可互化；求直线方程时若用点斜式或斜截式，必须先讨论斜率不存在的情形是否合题。

2.3 直线的交点坐标与距离公式

交点：联立两直线方程，方程组有唯一解则相交（解即交点坐标），无解则平行，无穷多解则重合。

三个距离公式：

$$\begin{array}{rl}& \text{两点间：}|P_1{P}_2|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2},\\ & \text{点到直线：}d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\\ & \text{两平行线：}d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}(\text{两线 }Ax+By+C_1=0,Ax+By+C_2=0).\end{array}$$

两点间距离是勾股定理的坐标化；点到直线距离可用向量投影或垂线段推导；两平行线间距离可化为其中一条上任意一点到另一条的距离。用公式前必须把直线化为一般式，且两平行线的 $A,B$ 要先化成相同。

2.4 圆的方程

标准方程：圆心 $(a,b)$、半径 $r$ 的圆为

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2,$

即「圆心距离等于半径」的坐标翻译。圆心在原点时简化为 $x^2+y^2=r^2$。

一般方程：展开标准方程得 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。反过来，该方程表示圆当且仅当 $D^2+E^2-4F>0$，此时圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$、半径 $\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$（配方法）。已知圆上三点求方程用一般式列方程组；已知圆心、半径或直径用标准式。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆（2.5.1）：设圆心到直线的距离为 $d$，半径为 $r$——

位置关系	几何判定	代数判定（联立后 $\Delta$）	公共点个数
相离	$d>r$	$\Delta <0$	0
相切	$d=r$	$\Delta =0$	1
相交	$d<r$	$\Delta >0$	2

相交时的弦长公式：弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$（垂径定理的坐标化），这是本章最高频的计算模型。切线问题抓住「圆心到切线的距离等于半径」或「切线垂直于过切点的半径」。

圆与圆（2.5.2）：设两圆圆心距为 $d$，半径 $r_1\ge r_2$——外离 $d>r_1+r_2$；外切 $d=r_1+r_2$；相交 $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$；内切 $d=|r_1-r_2|$；内含 $d<|r_1-r_2|$。两圆相交时，两方程相减即得公共弦所在直线的方程。

本章的三条主线结论

1. 坐标法是总纲：点、直线、圆都翻译成代数对象，几何关系翻译成方程与不等式，这是解析几何区别于初中综合几何的根本。
2. 斜率是直线的灵魂参数：倾斜角、平行垂直、三种方程形式都围绕 $k$ 展开，但 $k$ 可能不存在——凡用斜率必先讨论存在性。
3. 距离公式是度量核心：两点间、点到直线、平行线间距离层层递进，直线与圆的位置关系最终归结为「$d$ 与 $r$ 比大小」，弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$ 是压轴高频结论。

最易错：倾斜角范围与斜率不存在情形、垂直判定漏讨论、距离公式忘绝对值或未化一般式、圆的一般方程漏判 $D^2+E^2-4F>0$、弦长公式记错。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 直线过 $(1,2)$、$(3,6)$，求斜率与倾斜角。——$k=\frac{6-2}{3-1}=2$，$\alpha =\arctan 2$。
2. 求过点 $(2,-1)$ 且与直线 $3x+4y+1=0$ 垂直的直线方程。——所求斜率 $\frac{4}{3}$，方程 $y+1=\frac{4}{3}(x-2)$，即 $4x-3y-11=0$。
3. 求点 $(-1,2)$ 到直线 $3x-4y+1=0$ 的距离。——$d=\frac{|-3-8+1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{5}=2$。
4. 判断 $x^2+y^2-2x+4y+6=0$ 是否表示圆。——$D^2+E^2-4F=4+16-24=-4<0$，不表示圆。
5. 圆 $x^2+y^2=25$ 与直线 $3x+4y-25=0$ 的位置关系？——$d=\frac{25}{5}=5=r$，相切。
6. 直线 $y=x+1$ 截圆 $x^2+y^2=4$ 所得弦长是多少？——$d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，弦长 $=2\sqrt{4-\frac{1}{2}}=\sqrt{14}$。

第 2 题出错说明垂直条件与点斜式不熟；第 4 题出错说明一般方程的判定条件没掌握；第 6 题出错说明弦长模型不熟。

学完本章之后

• 选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质研究完全沿用本章的坐标法与距离工具，直线与圆锥曲线的位置关系是高考解析几何压轴题的母体。
• 高考：直线与圆的方程、弦长、切线、最值问题是解析几何的稳定考点，常与向量、不等式交汇。
• 数学思想：数形结合、分类讨论（斜率存在性）、化归（位置关系化为距离比较）是后续学习的通用方法。

一句口诀收尾：倾斜角定斜率，平行垂直看 $k$；点斜两点与一般，形式互化按需选；交点联立距离套，圆心半径写成方；线圆位置比 $d$、$r$，弦长牢记 $2\sqrt{r^2-d^2}$。