苏科版九年级上册第1章《一元二次方程》教材同步学习指南

定义

只含一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程。它的一般形式是 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$

其中 $a$、$b$、$c$ 分别叫二次项系数、一次项系数和常数项。使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 一元二次方程的概念	辨认方程，化成一般形式	正确读出 $a$、$b$、$c$
1.2 一元二次方程的解法	开平方、配方、公式、因式分解	降次求根
1.3 根与系数的关系	不解方程求两根之和与积	$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$
1.4 用一元二次方程解决问题	建模、求解、检验取舍	解决增长率、面积、利润问题

1.1 一元二次方程的概念

判断一元二次方程看两个要点：

1. 化简后只含一个未知数；
2. 未知数的最高次数为 2，且二次项系数不为 0。

例：把 $(x-1)(x+2)=3$ 化成一般形式。展开得 $x^2+x-2=3,$ 移项得 $x^2+x-5=0.$ 所以 $a=1$，$b=1$，$c=-5$。

写系数时要带符号。例如 $-2x^2+3x-1=0$ 中，$a=-2$，$b=3$，$c=-1$。

1.2 一元二次方程的解法

直接开平方法：形如 $(x-m{)}^2=n$ 且 $n\ge 0$ 时， $x-m=\pm \sqrt{n},$ 所以 $x=m\pm \sqrt{n}$。

配方法：把方程配成完全平方。以 $x^2-6x+5=0$ 为例，移项得 $x^2-6x=-5$，两边加上一次项系数一半的平方 9： $(x-3{)}^2=4,$ 所以 $x-3=\pm 2$，即 $x_1=5$，$x_2=1$。

二次项系数不为 1 时，先两边同除以二次项系数，再配方。

公式法：对 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$），当判别式 $\Delta =b^2-4ac\ge 0$ 时， $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

判别式决定实数根的个数：

判别式	实数根的情况
$\Delta >0$	两个不相等的实数根
$\Delta =0$	两个相等的实数根
$\Delta <0$	没有实数根

因式分解法：把方程化成两个一次因式的积等于 0。例： $x^2-6x+5=0,$ $(x-1)(x-5)=0,$ 所以 $x_1=1$，$x_2=5$。

选法顺序：先看能否直接开平方或因式分解，不能再用公式法；配方法在推导公式时不可替代。

1.3 一元二次方程的根与系数的关系

设 $x_1$、$x_2$ 是 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）的两个实数根，则 $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

使用前要确认 $\Delta \ge 0$。

例：$2x^2-5x+3=0$ 中，$\Delta =25-24=1>0$，所以 $x_1+x_2=\frac{5}{2},x_1{x}_2=\frac{3}{2}.$

不求根也可以求对称式： $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{25}{4}-3=\frac{13}{4}.$

1.4 用一元二次方程解决问题

解题流程：设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验取舍 → 作答。

常见模型：

• 增长率或降低率：$a(1+x{)}^n=b$；
• 面积与几何：先画图，用含未知数的式子表示边长；
• 利润：利润等于单件利润乘销量，注意售价和销量的取值范围。

例：某商品原价 100 元，连续两次提价后为 121 元，设平均每次提价率为 $x$，则 $100(1+x{)}^2=121.$ 解得 $(1+x{)}^2=1.21$，所以 $1+x=1.1$ 或 $1+x=-1.1$。提价率为正，故 $x=0.1$，即平均每次提价 $10\%$。

例：矩形长比宽多 2，面积为 15。设宽为 $x$，则 $x(x+2)=15,$ 即 $x^2+2x-15=0$，因式分解得 $(x+5)(x-3)=0$。边长不能为负，所以 $x=3$，长为 5。

本章的三条主线结论

1. 降次是核心动作：四种解法都是把二次方程转化为一次方程
2. 判别式先于求根：先看 $\Delta$ 的符号，再决定是否继续求根
3. 建模之后必须检验：数学上的根不一定符合实际意义

自测

先自己完成，再看答案：

1. $3x^2-2x+1=0$ 的 $a$、$b$、$c$ 各是多少？——$a=3$，$b=-2$，$c=1$
2. $x^2-6x+5=0$ 的两个根是多少？——$x_1=1$，$x_2=5$
3. $2x^2-4x+1=0$ 的判别式是多少？——$\Delta =8$
4. $x^2+2x+5=0$ 有实数根吗？——没有，$\Delta =-16<0$
5. $2x^2-5x+3=0$ 的两根之和与两根之积各是多少？——和为 $\frac{5}{2}$，积为 $\frac{3}{2}$
6. 某商品原价 100 元，连续两次提价后为 121 元，平均每次提价率是多少？——$10\%$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、5 题出错，说明判别式与根与系数的关系还需再练。

学完本章之后

本章把初中方程从一次推广到二次：

• 九年级上册《反比例函数》：函数与方程互相转化
• 九年级下册《二次函数》：抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根
• 高中一元二次不等式：解集端点由方程的两根确定

把“先看能否开方或分解，否则用公式法”做成选法直觉，一元二次方程题就有了统一入口。