浙教版七年级上册第6章《图形的初步知识》教材同步学习指南

定义

点、线、面、体都是几何图形。各部分不都在同一平面内的几何图形叫立体图形，各部分都在同一平面内的叫平面图形。

点动成线，线动成面，面动成体。直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点。角由两条有公共端点的射线组成，这个公共端点叫角的顶点。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
6.1 几何图形	区分立体图形与平面图形	理解点、线、面、体的关系
6.2 线段、射线和直线	辨认三种线，掌握表示法	记住端点个数与两个基本事实
6.3 线段的长短比较	用度量法和叠合法比较	理解两点间距离与线段中点
6.4 线段的和差	用和差表示线段长度	会结合中点计算，位置不定会分类
6.5 角与角的度量	认识角，进行度分秒换算	会度分秒的加减
6.6 角的大小比较	比较角的大小	理解角平分线
6.7 角的和差	用和差表示角	会结合角平分线计算
6.8 余角和补角	掌握互余、互补与对顶角	会用方程求角

6.1 几何图形

常见的立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等；常见的平面图形有三角形、长方形、圆等。

体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点，这就是“点动成线、线动成面、面动成体”的静态与动态两种理解。

例：长方体有 8 个顶点、12 条棱、6 个面；圆柱有 3 个面，其中 2 个是平面、1 个是曲面。

提醒：立体图形不一定都由平面围成，圆柱、圆锥、球都含曲面；球只有一个曲面，没有平面。

6.2 线段、射线和直线

名称	端点个数	延伸方向	能否度量
直线	0	向两方无限延伸	不能
射线	1	向一方无限延伸	不能
线段	2	不延伸	能

直线可以用“直线 $AB$”或“直线 $l$”表示；射线用“射线 $OA$”表示，端点 $O$ 写在前面；线段用“线段 $AB$”表示。

两个基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短。

例：直线 $AB$ 与直线 $BA$ 是同一条直线；线段 $AB$ 与线段 $BA$ 是同一条线段；射线 $OA$ 与射线 $AO$ 不是同一条射线，因为端点分别是 $O$ 和 $A$，方向也不同。

提醒：射线的端点必须写在前面；直线和射线不能度量长度，只有线段有长度。

6.3 线段的长短比较

比较两条线段的长短，可以用度量法（量出长度再比较），也可以用叠合法（把一条线段叠到另一条上，看端点位置）。

连接两点间的线段的长度，叫两点之间的距离。

点 $M$ 在线段 $AB$ 上，且 $AM=MB$，则 $M$ 叫线段 $AB$ 的中点，此时 $AM=MB=\frac{1}{2}AB.$

例：$AB=10$，$M$ 是 $AB$ 的中点，则 $AM=MB=5$。

提醒：判断中点必须同时满足“点在线段上”和“到两端距离相等”，只凭 $AM=MB$ 而点不在线段上不能叫中点；两点间的距离是长度，不是线段本身。

6.4 线段的和差

点 $C$ 在线段 $AB$ 上，则 $AC+CB=AB,AC=AB-CB.$

例：$AB=12$，$C$ 是 $AB$ 的中点，$D$ 是 $CB$ 的中点。先求 $AC=CB=6$，再求 $CD=DB=3$，所以 $AD=AC+CD=6+3=9.$

例：点 $C$ 在直线 $AB$ 上，$AB=10$，$BC=4$，求 $AC$。要分两种情况：点 $C$ 在线段 $AB$ 上时，$AC=10-4=6$；点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时，$AC=10+4=14$。

提醒：题目只说“在直线 $AB$ 上”时，点的位置不确定，必须画图分类；线段的和差可以与数轴上的距离互相转化。

6.5 角与角的度量

角由两条有公共端点的射线组成，这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两边。角可以用 $\angle AOB$、$\angle O$ 或 $\angle 1$ 表示；顶点处有多个角时，不能用单个字母表示。

角的度量单位是度、分、秒： $1\text{ 周角}=360^{\circ },1\text{ 平角}=180^{\circ },1^{\circ }=60^{\prime },1^{\prime }=60^{\prime \prime }.$

例：$32.5^{\circ }=32^{\circ }30^{\prime }$；$18^{\circ }30^{\prime }=18.5^{\circ }$；$25^{\circ }30^{\prime }+36^{\circ }40^{\prime }=62^{\circ }10^{\prime }$。

提醒：度分秒是 60 进制，$1.5^{\circ }=1^{\circ }30^{\prime }$，不是 $1^{\circ }50^{\prime }$；加法满 60 要进位，减法不够减要向上一级借 1 当 60。

6.6 角的大小比较

比较角的大小，可以用度量法量出度数，也可以用叠合法把两个角的顶点和一条边重合，看另一条边的位置。

角的大小与两边画出的长短无关，只与两边张开的程度有关。

射线 $OC$ 在 $\angle AOB$ 的内部，且 $\angle AOC=\angle BOC$，则 $OC$ 叫 $\angle AOB$ 的平分线，此时 $\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB.$

例：$\angle AOB=70^{\circ }$，$OC$ 平分 $\angle AOB$，则 $\angle AOC=35^{\circ }$。

提醒：角平分线是一条射线，必须在角的内部；比较角的大小时不要被边的长短干扰。

6.7 角的和差

根据射线的位置，角可以进行和差运算。

例：$\angle AOB=50^{\circ }$，$\angle BOC=30^{\circ }$，且两角有公共边 $OB$。当 $OC$ 在 $\angle AOB$ 内部时， $\angle AOC=\angle AOB-\angle BOC=50^{\circ }-30^{\circ }=20^{\circ };$ 当 $OC$ 在 $\angle AOB$ 外部时， $\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=50^{\circ }+30^{\circ }=80^{\circ }.$

例：$\angle AOB=80^{\circ }$，$OC$ 平分 $\angle AOB$，$OD$ 平分 $\angle BOC$，求 $\angle AOD$。由角平分线得 $\angle AOC=40^{\circ }$，$\angle COD=20^{\circ }$，所以 $\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=60^{\circ }.$

提醒：不画图、不分位置就容易漏解；角的和差要与线段的和平差区分，角看射线的位置，线段看点在线上的位置。

6.8 余角和补角

两个角的和等于 $90^{\circ }$，就说这两个角互为余角；两个角的和等于 $180^{\circ }$，就说这两个角互为补角。

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

两条直线相交，形成四个角。相邻的两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，它们互为邻补角，和为 $180^{\circ }$；相对的两个角的两边分别互为反向延长线，它们叫对顶角，对顶角相等。

例：一个角的补角是它的余角的 3 倍，求这个角。设这个角为 $x$，则补角为 $180^{\circ }-x$，余角为 $90^{\circ }-x$，列方程 $180-x=3(90-x),$ 解得 $x=45^{\circ }$。检验：补角 $135^{\circ }$，余角 $45^{\circ }$，$135=3\times 45$。

例：两直线相交，$\angle 1=40^{\circ }$。与 $\angle 1$ 相邻的角是 $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$，与 $\angle 1$ 相对的对顶角是 $40^{\circ }$，所以另外三个角依次是 $140^{\circ }$、$40^{\circ }$、$140^{\circ }$。

提醒：互余、互补是两个角之间的关系，不是某一个角单独的性质；对顶角必须由两条直线相交形成，不能把所有相等的角都叫对顶角。

本章的三条主线结论

1. 图形从点线面体认识：线有直线、射线、线段，面有平面与曲面
2. 线段与角都做和差倍分：中点、角平分线是“倍分”的统一工具，位置不定要分类
3. 角度计算可转化为方程：余角、补角、对顶角提供等量关系，前提与位置不能丢

自测

先自己完成，再看答案：

1. 两点之间什么最短？——线段
2. $1^{\circ }$ 等于多少分？$1^{\prime }$ 等于多少秒？——$60^{\prime }$，$60^{\prime \prime }$
3. 用度、分表示 $32.5^{\circ }$。——$32^{\circ }30^{\prime }$
4. 线段 $AB=12$，$C$ 是 $AB$ 的中点，求 $AC$。——$6$
5. 一个角是 $35^{\circ }$，它的余角和补角分别是多少？——余角 $55^{\circ }$，补角 $145^{\circ }$
6. 两直线相交，其中一个角是 $40^{\circ }$，其余三个角分别是多少？——$140^{\circ }$、$40^{\circ }$、$140^{\circ }$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 5 题出错，说明余角与补角的和记混了；第 6 题出错，说明邻补角与对顶角还没分清。

学完本章之后

本章是初中几何的起点，后续的图形研究都从线段和角出发：

• 七年级下册《平行线》：相交线、对顶角是研究平行线性质的基础；
• 八年级《三角形》：内角和、外角都靠角的和差计算；
• 高中《立体几何》与《解析几何》：空间图形与坐标计算都建立在基本图形之上。

把“画图—标条件—用和差或方程”三步走顺，几何题就不会因漏看位置而丢解。