菱形的性质与判定

定义

菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

判定：

1. 有一组邻边相等的平行四边形（定义）
2. 对角线互相垂直的平行四边形
3. 四条边都相等的四边形

三条判定中，前两条都带「平行四边形」这个前提，不能省。「对角线互相垂直的四边形」不一定是菱形（筝形的对角线也互相垂直），必须先确认它是平行四边形。

推导

性质 1：四条边相等。平行四边形 $ABCD$ 中 $AB=BC$。由对边相等：$AB=CD$、$BC=AD$，故四边都相等。$■$

性质 2：对角线互相垂直、平分对角。对角线交于 $O$。

由 $AB=AD$，点 $A$ 到 $B$、$D$ 等距；又 $OB=OD$（平行四边形对角线互相平分），点 $O$ 也到 $B$、$D$ 等距。由垂直平分线判定定理，直线 $AO$（即对角线 $AC$）是 $BD$ 的垂直平分线：

$AC\perp BD$

由等腰 $△ABD$ 三线合一，$AO$ 平分 $\angle BAD$，即对角线 $AC$ 平分一组对角；同理 $BD$ 平分另一组对角。$■$

判定 2（对角线垂直的平行四边形）：平行四边形 $ABCD$ 中 $AC\perp BD$。由 $OB=OD$ 且 $AC\perp BD$，直线 $AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线，故 $AB=AD$（垂直平分线性质），由定义是菱形。$■$

判定 3（四边相等）：$AB=BC=CD=DA$，由两组对边分别相等知是平行四边形，再加一组邻边相等，由定义是菱形。$■$

面积有两种算法

$S=ahS=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

第一个是底乘高（$a$ 为边长、$h$ 为该边上的高），第二个是两条对角线乘积的一半。

第二个公式的推导：对角线互相垂直，把菱形看成两个以 $d_1$ 为底、$\frac{d_2}{2}$ 为高的三角形：

$S=2\times \frac{1}{2}{d}_1\cdot \frac{d_2}{2}=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

它只对对角线垂直的四边形（菱形、正方形、筝形）成立，不能套到一般平行四边形上。做题时看已知条件选：给了两条对角线用第二个，给了边与高用第一个。

对角线与边长的关系

半对角线互相垂直，与边长构成直角三角形，故

$a^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$

已知两条对角线求边长，或已知一边与一条对角线求另一条，都用它。最常见的整数情形就是半对角线为 $3$ 与 $4$、边长为 $5$。

典例精析

菱形两条对角线长为 $6$ 和 $8$，求边长与面积。

对角线互相垂直平分，半对角线为 $3$ 和 $4$，构成直角边为 $3$、$4$ 的直角三角形：

$a=\sqrt{3^2+4^2}=5,S=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$

再练一道：菱形边长为 $5$，一条对角线长为 $8$，求另一条对角线与面积。

半对角线为 $4$，由 $5^2=4^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$ 得 $\frac{d_2}{2}=3$，故另一条对角线为 $6$，面积为 $\frac{1}{2}\times 8\times 6=24$。

对比

	矩形	菱形	正方形
特殊条件	一个直角	一组邻边相等	两者皆有
对角线	相等	垂直	相等且垂直
面积算法	长 × 宽	底 × 高；或对角线乘积的一半	边长平方；或对角线平方的一半
对称轴	2 条	2 条	4 条

与其他知识的联系

菱形是「平行四边形加一组邻边相等」，而对角线互相垂直这一条，本质是线段垂直平分线的判定：两个点都到 $B$、$D$ 距离相等，它们的连线就是 $BD$ 的垂直平分线。

这也解释了为什么菱形、正方形常与轴对称一起考——对角线所在的直线正是它们的对称轴。往上走，正方形兼具矩形与菱形的全部性质；而菱形面积公式在高中会以「对角线向量叉积」的形式重新出现。