三角形内切圆

定义

与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心叫内心，用 $I$ 表示。内心是三角形三条角平分线的交点。

设三边为 $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$，半周长 $p=\frac{a+b+c}{2}$，内切圆半径为 $r$，面积为 $S$，则：

• 从顶点 $A$ 引出的两条切线长均为 $p-a$（$B$、$C$ 处同理为 $p-b$、$p-c$）；
• 面积公式：$S=pr$。

内心 vs 外心，一句话分清：内心是角平分线的交点，到三边的距离相等（所以能做内切圆）；外心是垂直平分线的交点，到三顶点的距离相等（所以能做外接圆）。两者名字只差一个字，对象完全不同。

旁切圆（了解）：与三角形的一边及另两边的延长线相切的圆，叫旁切圆。一个三角形有三个旁切圆，圆心叫旁心，是一个内角平分线与另外两个外角平分线的交点。初中阶段只作了解。

推导

存在性与唯一性：作 $\angle A$、$\angle B$ 的平分线交于 $I$。由角平分线性质定理：

• $I$ 在 $\angle A$ 平分线上 $\Rightarrow$ 到 $AB$、$AC$ 的距离相等；
• $I$ 在 $\angle B$ 平分线上 $\Rightarrow$ 到 $AB$、$BC$ 的距离相等。

故 $I$ 到三边 $AB$、$BC$、$CA$ 的距离都等于某值 $r$。以 $I$ 为圆心、$r$ 为半径作圆，圆心到三边距离都等于半径，由切线判定定理，圆与三边相切，即内切圆。$I$ 也在 $\angle C$ 的平分线上（到 $BC$、$CA$ 等距，由角平分线判定），故三条角平分线共点。$■$

切线长：设三边切点为 $D$（$BC$ 上）、$E$（$CA$ 上）、$F$（$AB$ 上）。由切线长定理，从同一顶点引出的两切线相等，设

$AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z$

由三边组成：

$\{\begin{array}{l}x+y=c\\ y+z=a\\ z+x=b\end{array}$

三式相加：$2(x+y+z)=a+b+c=2p$，即 $x+y+z=p$。于是

$x=p-a,y=p-b,z=p-c■$

面积公式：连 $IA$、$IB$、$IC$，把 $△ABC$ 分成三个小三角形，它们以三边为底、内切圆半径 $r$ 为高：

$S=S_{△IBC}+S_{△ICA}+S_{△IAB}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{a+b+c}{2}r=pr■$

直角三角形特例：$a$、$b$ 为直角边、$c$ 为斜边时 $r=\frac{a+b-c}{2}$。直角处两条切线段与直角顶点、内心围成边长 $r$ 的正方形，故直角顶点处的切线长 $p-c=\frac{a+b-c}{2}$ 就是 $r$。

典例精析

$△ABC$ 三边为 $13$、$14$、$15$，求内切圆半径。

半周长 $p=21$。由海伦公式求面积（或作高求得高为 $12$）：

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84$

$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4$

例 2（直角三角形特例）：直角三角形两直角边为 $3$、$4$，斜边为 $5$，求内切圆半径。

直接套特例公式：

$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$

为什么成立：直角顶点、两个切点、内心 $I$ 四点围成一个边长为 $r$ 的正方形，所以从直角顶点引出的两段切线长都是 $r$；而这两段切线长分别等于 $p-c$，于是 $r=p-c=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}$。

对比

	外接圆	内切圆
圆心	外心（垂直平分线交点）	内心（角平分线交点）
等距对象	三顶点	三边
半径	$R$（直角三角形为斜边一半）	$r=S/p$，直角三角形 $r=(a+b-c)/2$
圆心位置	锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外	恒在三角形内部

与其他知识的联系

三角形内切圆是角平分线性质与切线长定理的合流：内心由角平分线的等距性保证存在，切线长公式 $p-a$ 则由切线长定理推出，面积公式 $S=pr$ 又是「分割求和」的典型用法。

它还是「三角形」与「圆」两章内容的交汇点：同一组边角量，外接圆从「顶点共圆」切入，内切圆从「三边相切」切入，一外一内，正好对仗。往后，$S=pr$ 这条式子还会在多边形（尤其是正多边形）的内切圆计算里反复用到。