三角形重心定理

定义

重心：三角形三条中线的交点，记作 $G$。

重心定理：重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的 $2$ 倍。即对中线 $AD$（$D$ 为 $BC$ 中点）：

$AG:GD=2:1,AG=\frac{2}{3}AD,GD=\frac{1}{3}AD$

推导

下面的严格证明要用到八年级下册的三角形中位线定理与九年级下册第三十一章的相似三角形。八年级同学在综合与实践中先用悬挂等操作认识「三条中线交于一点」，$2:1$ 的证明可待学完相似后再回看。

设中线 $AD$ 与中线 $BE$ 交于 $G$（$D$ 为 $BC$ 中点、$E$ 为 $AC$ 中点），连 $DE$。

$DE$ 是 $△ABC$ 的中位线，由中位线定理：

$DE\parallel AB,DE=\frac{1}{2}AB$

考察 $△GAB$ 与 $△GDE$：

• $\angle GAB=\angle GDE$（$AB\parallel DE$，内错角相等）；
• $\angle GBA=\angle GED$（同理）。

$\therefore △GAB\backsim △GDE$，相似比为 $AB:DE=2:1$，故

$GA:GD=GB:GE=2:1$

即两中线交点分每条中线为 $2:1$（顶点一侧占两份）。

共点：再设中线 $AD$ 与第三条中线 $CF$ 交于 $G^{\prime }$，同理 $G^{\prime }$ 也分 $AD$ 为 $A{G}^{\prime }:G^{\prime }D=2:1$。线段 $AD$ 上满足该比例的点唯一，故 $G^{\prime }$ 与 $G$ 重合——三条中线共点。$■$

面积性质：由 $AG:GD=2:1$，$△ABG$ 与 $△BGD$ 同高，面积比等于底之比 $2:1$；轮换可得三条中线把三角形分成的 $6$ 个小三角形面积相等。

典例精析

$△ABC$ 重心为 $G$，中线 $AD=9$，过 $G$ 作 $GM\parallel AC$ 交 $BC$ 于 $M$，求 $DM:MC$。

重心分中线：$GD=\frac{1}{3}AD=3$。在 $△ADC$ 中，$GM\parallel AC$（$G$ 在 $AD$ 上、$M$ 在 $DC$ 上），由平行线分线段成比例：

$\frac{DM}{MC}=\frac{DG}{GA}=\frac{1}{2}$

故 $DM:MC=1:2$。

对比

名称	交点	位置特征
重心	三条中线	分中线 $2:1$，恒在内部
内心	三条角平分线	到三边等距，恒在内部
外心	三边垂直平分线	锐角内/直角斜边/钝角外
垂心	三条高	锐角内/直角顶点/钝角外