直角三角形斜边中线定理

定义

性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

Rt$△ABC$ 中 $\angle ACB=90^{\circ }$，$D$ 为斜边 $AB$ 的中点，则

$CD=\frac{1}{2}AB$

逆定理：在 $△ABC$ 中，若 $AB$ 边上的中线 $CD=\frac{1}{2}AB$，则 $\angle ACB=90^{\circ }$。

逆定理的用途是判定直角：不必直接去证某个角是 $90^{\circ }$，只要证明某边上的中线等于该边的一半即可。在不好量角、不好证垂直的情形下，这条路往往更短。

要注意的是，这条定理只对斜边（直角所对的边）成立，直角边上的中线没有这个性质。

推导

性质（倍长中线构造矩形）：延长 $CD$ 到 $E$，使 $DE=CD$，连 $AE$、$BE$。

由 $AD=DB$、$CD=DE$，四边形 $ACBE$ 的对角线互相平分，故 $ACBE$ 是平行四边形。

又 $\angle ACB=90°$，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 $ACBE$ 是矩形。

由矩形对角线相等：$AB=CE$。而 $CE=2CD$，所以

$CD=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AB■$

逆定理：同样倍长 $CD$ 到 $E$ 使 $DE=CD$，得平行四边形 $ACBE$。由 $CD=\frac{1}{2}AB$ 得 $CE=AB$，即对角线相等的平行四边形是矩形，故 $\angle ACB=90°$。$■$

斜边中点的身份

斜边中点 $D$ 到三个顶点的距离相等：

$DA=DB=DC$

因为 $DA=DB=\frac{1}{2}AB$，而由定理 $DC$ 也等于 $\frac{1}{2}AB$。所以 $D$ 正是这个直角三角形的外心，以它为圆心可作外接圆，半径 $R=\frac{1}{2}AB$。这也印证了「直角三角形的外心在斜边中点」这一结论。

与「含 30° 角」那条结论的区别

两条结论形式上都是「等于斜边的一半」，说的对象却完全不同：

结论	说的是哪条线段	条件
斜边中线定理	斜边上的中线（直角顶点到斜边中点）	任意直角三角形
含 $30^{\circ }$ 角	$30^{\circ }$ 角所对的直角边	必须含有 $30^{\circ }$ 角

一条是中线，一条是边，不能互相替代。

典例精析

矩形 $ABCD$ 对角线交于 $O$，$\angle AOB=60^{\circ }$，$AB=3$，求矩形对角线长。

矩形对角线相等且互相平分：$OA=OB$，又 $\angle AOB=60^{\circ }$，故 $△AOB$ 是等边三角形，$OA=AB=3$。

对角线 $AC=2OA=6$。

（本题实质：$O$ 是 Rt$△ABC$ 斜边的中点，$OA=OB=OC$ 自动成立，再由 $60^{\circ }$ 锁定等边。）

再练一道用逆定理的：$△ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 的中点，且 $CD=AD=BD$，判断 $△ABC$ 的形状。

由 $CD=\frac{1}{2}AB$，用逆定理得 $\angle ACB=90^{\circ }$，故 $△ABC$ 是直角三角形，$AB$ 为斜边。

对比

特殊线段	结论	条件
斜边中线	$m_c=\frac{1}{2}c$	直角三角形
斜边高	$h_c=\frac{ab}{c}$	直角三角形（面积法）
30° 对直角边	$a=\frac{1}{2}c$	含 30° 角
外心位置	在斜边中点	直角三角形独有

与其他知识的联系

这条定理的证明靠的是矩形，说明它与特殊平行四边形说的是同一套语言：直角三角形补成一个矩形后，斜边就是矩形的一条对角线，斜边上的中线则是另一条对角线的一半。

它把两件事连在了一起——「直角三角形的外心在斜边中点」与「矩形的对角线互相平分且相等」。往后，这个结论在圆这一章会以「直径所对的圆周角是直角」及其逆命题（直角所对的弦是直径）的形式再次出现，与本定理说的是同一回事。