点到直线的距离

为什么是垂直的那一条最短

从直线外一点 P 向这条直线可以连无数条线段：正对着连一条，往左斜一点再连一条，往右斜一点又连一条。把每条都画出来量一量，会发现一个规律：

斜得越厉害，线段越长；正好垂直时最短。

教材把这件事直接告诉学生，不必证明，通常叫做「垂线段最短」。课堂上可以让孩子亲手验证：在一张纸中间画一条直线，直线外点一个点，从这个点向直线画 5 条线段（其中一条垂直），用尺子一条条量，垂直的那条一定最短。量过一次，这句话就记住了。

因为垂直线段最短，所以「距离」这件事才有一个统一的说法：不从点随便向直线连一条线就叫距离，只有垂直那一条的长度才是距离。

画一画、量一量：三步不走样

1. 放：把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
2. 推：沿直线平移三角尺，直到另一条直角边经过那个点。
3. 画并标直角：沿这条直角边画线段，画上直角符号，再用尺子量出长度。

第 3 步的直角符号最关键：批作业时老师先看有没有直角符号，就知道你画的是不是垂直线段。

典例精析

例 1 从直线外一点 P 向直线画了 4 条线段 PA、PB、PC、PD，量得 PA＝7 厘米，PB＝5 厘米，PC＝4 厘米，PD＝6 厘米，其中只有 PC 与直线垂直。P 到这条直线的距离是多少？

距离就是垂直线段 PC 的长度，即 4 厘米。另外三条是斜线，比 4 厘米长，不能当距离。

例 2 跳远测试中，小明的脚后跟落地点到起跳线的垂直线段长 3 米 15 厘米；体育委员从落地点斜着量到起跳线左端，量得 3 米 40 厘米。成绩该记哪个？

记 3 米 15 厘米。量成绩用的是点到直线的距离，必须垂直量；斜着量的 3 米 40 厘米比真实距离长，会把成绩量「大」。

例 3 一个长方形，长 8 厘米，宽 5 厘米。它的上边和下边之间的距离是多少？左边和右边之间的距离呢？

上边与下边互相平行，它们之间的距离就是宽，5 厘米；左边与右边之间的距离是长，8 厘米。因为长方形的相邻两条边正好垂直，所以「宽」就是上下两边之间的垂直线段。

例 4 判断：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。

对。这就是「垂线段最短」，也是「距离」这个说法的根据。

例 5 判断：从直线外一点到这条直线的垂直线段，叫做这点到直线的距离。

错。差一个字：距离是这条垂直线段的长度，不是一个图形。这类判断题几乎年年考。

辨析与提醒

• 距离是数，线段是图。说「距离是 4 厘米」通顺，说「距离是这条线段」就不对。
• 只有垂直的那一条。图上画了三条线，先找直角符号，没有直角符号的就不是。
• 两点之间线段最短 ≠ 垂线段最短。前一句比的是两个点之间怎么连最短；后一句比的是一个点到一条直线怎么连最短。
• 平行线之间的距离处处相等。这是下一课的内容，也是「点到直线的距离」的连续使用：在两条平行线之间任取一点，量到另一条直线的距离都一样。

跨学段衔接

到七年级下册「相交线与平行线」，这一句话会正式写成基本事实「垂线段最短」，并用「直线外一点到直线的垂线段」给出规范的几何语言。再往高年级走，同一个想法会被换成代数算法：已知点 $(x_0,y_0)$ 与直线 $Ax+By+C=0$，不画图也能算出距离——这条公式在初中课本里不出现，是高中阶段用向量方法得到的。小学打的是「看得见、量得出」的底子，初中给它名字和符号，高中给它算法——同一个想法，三个学段长三次。

给家长的讲法

家里就能讲清楚：让孩子站在客厅墙边（墙当直线），地上贴一个点当「他」。问他：从这个点到墙，怎么走最近？孩子多半会直着走过去——那就是垂直线段。再用卷尺量三种走法：直着走、斜着走、绕到墙的一端走，把三个数记下来，让他自己发现直着走的那个数最小。

孩子最容易错的其实是第二件事：把「线」当成「距离」。量完可以追问一句：「刚才那条线还在地上，距离是哪个数？」他答得出「3 米 15 厘米这个数」，这个概念就过关了。

课堂提示

• 本页难点：距离是垂直线段的长度（一个数），不是垂直线段（一个图形）。
• 一句提问：图上三条线段都从同一个点出发，凭什么说 4 厘米那条是距离？（先看哪条与直线垂直）
• 板书/操作：先画直线和直线外一点，请学生上台画三条不同的线段并逐一量长度，把数写在每条旁边，最后画垂直线段并标直角符号，全班一起找最小那个数。
• 易错题型：判断题「垂直线段就是距离」；选择题「下面哪条线段的长度是点 A 到直线的距离」；生活题「修水渠/测跳远」。