浙教版七年级下册第1章《相交线与平行线》教材同步学习指南

定义

在同一平面内，两条不重合的直线只有两种位置关系：相交或平行。本章用角研究线：

$\text{相交线}⟶\text{对顶角、邻补角、垂线}⟶\text{三线八角}⟶\text{平行线的判定与性质}.$

两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角互为对顶角，对顶角相等；相邻的两个角互为邻补角，邻补角互补。两条直线相交成直角时互相垂直；在同一平面内不相交的两条直线叫平行线。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 直线的相交	认识对顶角、邻补角与垂线	对顶角相等、邻补角互补，垂线段最短
1.2 同位角、内错角、同旁内角	在三线八角中辨认三类角	会按位置配对，不凭大小判断
1.3 平行线	理解平行线与平行公理	过直线外一点只能画一条平行线
1.4 平行线的判定	由角的关系判定平行	同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
1.5 平行线的性质	由平行推出角的关系	两直线平行，三类角的关系成立
1.6 图形的平移	认识平移及对应关系	对应点连线平行且相等

1.1 直线的相交

两条直线 $AB$、$CD$ 相交于点 $O$，形成四个角。

• $\angle AOC$ 与 $\angle BOD$ 有公共顶点 $O$，且两边互为反向延长线，是对顶角，所以 $\angle AOC=\angle BOD$。
• $\angle AOC$ 与 $\angle AOD$ 有一条公共边 $OA$，另一边 $OC$、$OD$ 互为反向延长线，是邻补角，所以 $\angle AOC+\angle AOD=180^{\circ }$。

当四个角中有一个是直角时，两条直线互相垂直，记作 $AB\perp CD$，交点叫垂足。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

从直线外一点向直线作垂线，这点与垂足之间的线段叫垂线段，垂线段最短；垂线段的长度叫点到直线的距离。

例：直线 $AB$、$CD$ 相交于 $O$，$\angle AOC=35^{\circ }$。则对顶角 $\angle BOD=35^{\circ }$，邻补角 $\angle AOD=\angle BOC=180^{\circ }-35^{\circ }=145^{\circ }$。四个角之和为 $35^{\circ }+35^{\circ }+145^{\circ }+145^{\circ }=360^{\circ }$，验算成立。

若点 $P$ 到直线 $l$ 的垂线段 $PO=4\text{ cm}$，则点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $4\text{ cm}$；在 $l$ 上另取一点 $Q$，只要 $Q\ne O$，就有 $PQ>4\text{ cm}$。

易错：对顶角不仅相等，还必须“两边互为反向延长线”；点到直线的距离是长度，不是垂线段。

1.2 同位角、内错角、同旁内角

两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，通常称为“三线八角”。先找截线（与另外两条直线各相交一次的直线），再按位置分类：

• 同位角：在截线同侧、被截线同方，形如“F”，共 4 对；
• 内错角：在截线两侧、两被截线之间，形如“Z”，共 2 对；
• 同旁内角：在截线同侧、两被截线之间，形如“U”，共 2 对。

例：把上方交点处的四个角按右上、左上、左下、右下记为 $\angle 1$、$\angle 2$、$\angle 3$、$\angle 4$，下方交点处同样记为 $\angle 5$、$\angle 6$、$\angle 7$、$\angle 8$。则 $\angle 1$ 与 $\angle 5$ 是同位角，$\angle 4$ 与 $\angle 6$ 是内错角，$\angle 3$ 与 $\angle 6$ 是同旁内角。三类角合计 $4+2+2=8$ 对，辨认时按位置逐对找，不要凭角的大小猜。

易错：三类角只由位置决定，与角的大小无关。同位角、内错角不一定相等，同旁内角也不一定互补；只有两直线平行时才成立。

1.3 平行线

在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，记作 $a\parallel b$。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

由此得到：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即

$a\parallel c,b\parallel c⟹a\parallel b.$

例：在同一平面内，已知 $a\parallel c$，$b\parallel c$。若 $a$ 与 $b$ 相交于点 $P$，那么过点 $P$ 就有两条直线 $a$、$b$ 都与 $c$ 平行，违反平行公理，所以 $a\parallel b$。

易错：平行线是直线，不是线段；两条线段不相交，延长后仍可能相交，不能直接说它们平行。“同一平面内”这个前提也不能丢。

1.4 平行线的判定

判定两条直线平行，常用以下方法：

1. 同位角相等，两直线平行；
2. 内错角相等，两直线平行；
3. 同旁内角互补，两直线平行。

另外，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线也平行。

例：直线 $a$、$b$ 被直线 $c$ 所截，$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是同旁内角，$\angle 1=72^{\circ }$。当 $\angle 2=108^{\circ }$ 时，$\angle 1+\angle 2=180^{\circ }$，由“同旁内角互补，两直线平行”得 $a\parallel b$。若 $\angle 2=72^{\circ }$，两角只是相等，不能由此判定平行。

易错：判定是由角推线，别和性质用反；同旁内角要求“互补”，不是“相等”；只要一对角满足条件即可，不必三对都满足。

1.5 平行线的性质

两条平行线被第三条直线所截，有：

1. 两直线平行，同位角相等；
2. 两直线平行，内错角相等；
3. 两直线平行，同旁内角互补。

已知	结论	名称
同位角相等或内错角相等或同旁内角互补	两直线平行	判定
两直线平行	同位角相等、内错角相等、同旁内角互补	性质

例：已知 $a\parallel b$，直线 $c$ 与它们相交，$\angle 1=65^{\circ }$。与 $\angle 1$ 成内错角的角等于 $65^{\circ }$；与 $\angle 1$ 成同旁内角的角等于 $180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$；与 $\angle 1$ 成同位角的角也等于 $65^{\circ }$。

易错：没有“两直线平行”这个前提，不能直接使用性质；同旁内角是互补，不是相等；复杂图形中先确认截线，再找角。

1.6 图形的平移

一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移。平移由移动的方向和距离决定。

平移的性质：

• 平移不改变图形的形状和大小，平移前后的图形全等；
• 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；
• 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。

例：把长 $5\text{ cm}$ 的线段 $AB$ 向右平移 $3\text{ cm}$ 得到 $A^{\prime }{B}^{\prime }$。则 $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=5\text{ cm}$，$A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=3\text{ cm}$，且 $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$。若 $AB$ 与水平方向成一定角度，平移后 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 仍与 $AB$ 平行且等长，线段的方向和长度都没有改变。

易错：平移的距离是对应点之间的距离，不是横向、纵向距离的简单相加；旋转、轴对称都不属于平移；图形上每一点移动的方向和距离都相同。

本章的三条主线结论

1. 用角研究线：相交线用对顶角、邻补角刻画，平行线用三线八角判定和描述。
2. 判定与性质方向相反：由角的关系推出平行是判定，由平行推出角的关系是性质。
3. 平移保形：平移不改变形状和大小，对应点连线平行且相等。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 两条直线相交，$\angle 1=48^{\circ }$，它的对顶角和邻补角分别是多少？——对顶角 $48^{\circ }$，邻补角 $132^{\circ }$
2. 点 $P$ 到直线 $l$ 的垂线段长 $6\text{ cm}$，点 $P$ 到 $l$ 的距离是多少？——$6\text{ cm}$
3. 两条平行线被第三条直线所截，$\angle 1=75^{\circ }$，与它成内错角、同旁内角的角分别是多少度？——$75^{\circ }$，$105^{\circ }$
4. 在同一平面内，$a\perp c$，$b\perp c$，$a$ 与 $b$ 有什么关系？——$a\parallel b$
5. 把线段 $AB$ 向右平移 $5\text{ cm}$ 得到 $A^{\prime }{B}^{\prime }$，$A{A}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 有什么关系？——平行且相等，长度都是 $5\text{ cm}$
6. $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是同旁内角，$\angle 1=68^{\circ }$，要使两直线平行，$\angle 2$ 应是多少度？——$112^{\circ }$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 3、6 题出错，说明平行线的性质与判定方向还需分清。

学完本章之后

本章建立的“由角定线、由线定角”是初中几何的基本推理方式：

• 八年级上册《三角形的初步知识》：三角形内角和、外角性质都要借助平行线的性质推导；
• 八年级上册《特殊三角形》：等腰三角形、直角三角形的推理继续使用角与线的转化；
• 高中《立体几何初步》：空间中直线、平面的平行与垂直，是本章内容在三维空间的推广。

把“先找截线、再定角、最后看方向”练成固定顺序，平行线题就不会在判定与性质之间来回出错。