人教版四年级上册第五单元《平行四边形和梯形》教材同步学习指南

学习顺序

5.1 平行和垂直

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与不相交（平行）。

垂直是相交的特殊情况——相交成直角。判断时可以用三角尺的直角比一比。

前提别丢：「同一平面内」是平行的前提，脱离这个前提说平行是不严谨的。

5.2 画垂线和点到直线的距离

工具：三角尺。

过直线上一点画垂线：① 三角尺一条直角边与直线重合；② 沿直线移动三角尺，使直角顶点落在已知点上；③ 沿另一条直角边画线，标上直角符号。

过直线外一点同理，画出的垂线只有一条。

从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

应用：过马路走垂直路线最近。

5.3 画平行线和平行线之间的距离

画平行线：可以用一把直尺和一块三角尺配合——三角尺一条直角边紧贴直尺，先沿另一条直角边画出一条直线，再保持直尺不动、平移三角尺，沿同一条直角边画出第二条直线，两条直线互相平行。

平行线之间的距离：在两条平行线之间画垂直线段，长度处处相等。长方形的两对对边之间，就是这样的等距关系。

5.4 画长方形和正方形

画长方形是画垂线的综合应用：先画一条长，再分别过两端点向同侧画两条垂直的宽，最后连接。依据：长方形对边平行、邻边垂直、四个角都是直角。

画正方形：方法相同，区别只是长和宽取一样长——四条边等长、邻边垂直。

5.5 平行四边形

特征：两组对边分别平行且相等，对角相等。

特性：容易变形（不稳定性），伸缩门、升降机都利用这一点。

底和高：从一条边上一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫高，对边叫底。平行四边形有无数条高。

5.6 梯形

特征：只有一组对边平行。平行的两边叫上底和下底，不平行的两边叫腰。

特殊梯形：两腰相等——等腰梯形；有一个直角——直角梯形。

「只有一组」四个字是关键，两组都平行就是平行四边形了。

整理和复习：四边形之间的关系

用集合图整理：正方形是特殊的长方形，长方形和正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的四边形。

梯形则是「另一支」：只有一组对边平行，不属于平行四边形。

活动课：神奇的默比乌斯带

把一张长方形纸条的一端扭转 $180^{\circ }$，再与另一端粘接起来，就得到默比乌斯带：它只有一个面、一条边。用彩笔沿带子中间画一条线，不抬笔就能画遍整个曲面；沿中线剪开，不会断成两个圈，而是得到一个两倍长的大纸圈。这是拓扑学的经典实例，重在动手感受「面」的奇妙。

本章的三条主线结论

1. 同一平面内两直线不是平行就是相交：垂直是相交成直角的特例，垂直线段最短。
2. 平行四边形与梯形的分界在「组数」：两组对边分别平行是平行四边形，只有一组是梯形。
3. 四边形是一个家族：正方形 ⊂ 长方形 ⊂ 平行四边形 ⊂ 四边形，梯形单独一支。

最易错：平行与垂直概念混淆、把梯形说成平行四边形、忘记「同一平面内」这个前提。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 同一平面内不相交的两条直线叫什么？——平行线，互相平行。
2. 点到直线的距离指什么？——这点到直线所画垂直线段的长度。
3. 从直线外一点到直线画的各条线段中，哪条最短？——垂直线段最短。
4. 平行四边形有什么特性和特征？——对边平行且相等、对角相等，容易变形（不稳定性）。
5. 梯形有几组对边平行？——只有一组，「只有」不能丢。
6. 判断：长方形是特殊的平行四边形，梯形也是平行四边形。——前半句对，后半句错，梯形只有一组对边平行。

第 1 题出错说明平行概念不熟；第 2、3 题出错说明距离概念不清；第 4 题出错说明平行四边形特征没记住；第 5、6 题出错说明梯形与平行四边形的分界没掌握。

学完本章之后

本章是四边形认识的深化：

• 五年级上册《多边形的面积》：平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导全建立在底和高的概念上。
• 六年级《圆》：作图工具与垂直关系的经验继续迁移。
• 初中《平行四边形》《特殊平行四边形》：本章的直观认识将被严格证明，矩形、菱形、正方形逐一登场。
• 数学故事：活动课的纸带魔术可以延伸阅读《莫比乌斯带：只有一个面的纸环》，了解它的发现经过与生活中的应用。
• 生活应用：伸缩门、衣架、堤坝横截面（梯形）都是本章图形的实物。

一句口诀收尾：同面两线不碰头，那叫平行记心头；相交直角叫垂直，垂线段儿最短优；两组对边都平行，平行四边易变形；只有一组对边平，它就是梯形分得明。