全等图形：能完全重合的两个图形

抓住一句话：形状相同、大小相同

「完全重合」这四个字拆开来是两条要求：

1. 形状相同——同一个样子，都是正方形、都是同一个三角形；
2. 大小相同——边长、角度一点不差。

两条必须同时满足。只满足第 1 条（形状相同、大小不同），是放大或缩小后的图形；只满足「面积相等」这一类条件，形状可能完全不同。

所以判断全等，最可靠的办法只有一个：能不能重合。可以量的时候比边长和角度，可以动手的就把纸片剪下来叠。

位置与朝向不算数

全等比较的是图形本身，与它画在纸上的哪个位置、朝哪个方向无关：

• 平移后：形状、大小、朝向都不变，仍与原图全等。
• 旋转后：形状、大小不变，只是转了个角度，仍全等。
• 翻折（沿一条直线翻过去）：像从纸的背面看一样，仍全等。

这也是学生最容易「看不出」的地方：两个三角形一个正放、一个倒放，视觉上不像，实际能重合。课堂上常用的做法是让学生把图形描在透明胶片上，翻一翻、转一转，亲眼看到重合。

对应关系要按重合来配

两个图形全等时，哪些边相等、哪些角相等，不是随手配的，而是由重合关系决定：重合的顶点是对应顶点，对应顶点连的边是对应边，对应边夹的角是对应角。

写符号时把对应位置的字母对齐，是解题的第一步。若把 $△ABC\cong △DEF$ 写成 $△ABC\cong △DFE$，对应关系就变了，写出的等式也跟着错。

典例精析

例 1 下面哪几组是全等图形？

（1）两张一样的邮票剪下来，一张正放、一张斜放。（是，能重合） （2）边长 5 厘米的正方形与边长 3 厘米的正方形。（不是，形状相同大小不同） （3）面积都是 12 平方厘米的两个长方形，一个 $3\times 4$、一个 $2\times 6$。（不是，边长不同） （4）同一张底片洗出的 5 寸照片与 7 寸照片。（不是，放大了，大小不同）

例 2 已知 $△ABC\cong △DEF$，$AB=7$ 厘米，$BC=5$ 厘米，$\angle B=60^{\circ }$。求 $DE$、$EF$ 与 $\angle E$。

按字母顺序对应：$DE=AB=7$ 厘米，$EF=BC=5$ 厘米，$\angle E=\angle B=60^{\circ }$。

例 3 例 2 中两个三角形的周长相等吗？面积呢？

相等。全等三角形完全重合，周长都是 $AB+BC+CA$，同一个值，面积也相同。注意反过来不成立：周长相同的两个三角形不一定全等。

例 4 判断：两个图形能完全重合，它们的形状和大小一定相同。

正确。这正是全等的定义。

例 5 一块三角形纸片，绕它的一个顶点旋转 $180^{\circ }$ 后得到另一块三角形纸片。这两块纸片全等吗？

全等。旋转不改变形状和大小，只是换了朝向，叠起来仍能完全重合。

辨析与提醒

• 单个图形没有「全等」：全等是两个图形之间的关系，说「这个三角形是全等图形」是错的，应该说「这两个三角形全等」。
• 重合是标准，看着像是不可靠的：朝向不同、位置不同、镜像关系都可能让眼睛判断失误。
• 面积相等 ≠ 全等，周长相等 ≠ 全等：这两个反例每年都有人栽。
• 对应关系先定，再写等式：先找出谁对谁，再写哪条边等于哪条边。

跨学段衔接

小学阶段已经接触过「两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形」「七巧板里两块完全一样的三角板」这类说法，那时没有名字；七年级下册给它定名为全等图形，并顺势研究全等三角形的性质；紧接着的判定方法（边角边、角边角、边边边、斜边直角边）解决「不用真的叠在一起，只量几个条件就能断定全等」；八年级上册用全等证明角平分线的性质，八年级下册用全等研究平行四边形；到九年级，「形状相同、大小可以不同」的相似被引进来，与全等对照记忆：全等是相似比等于 1 的特殊情形。

课堂提示

• 本页难点：把「完全重合」拆成形状相同与大小相同两条，且不让位置、朝向干扰判断。
• 一句提问：两个图形面积相等，一定能重合吗？请举一个反例。
• 板书/操作：课前准备两张完全相同的三角形纸片，一张旋转、一张翻面，请学生上台演示重合；再拿一张 $3\times 4$、一张 $2\times 6$ 的长方形纸片叠一叠，面积都是 12 平方厘米却对不齐。
• 易错题型：判断「形状相同的两个图形全等」；由全等写对应边时字母顺序写错。