北师大版七年级下册第四章《三角形》教材同步学习指南

学习顺序

顺序上先“一个三角形”，再“两个三角形”，最后“用两个三角形的关系解决实际问题”。全等条件建立在对应边角之上，不能跳过对应关系直接背判定。

4.1 认识三角形

三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。三条线段叫边，相邻两边的公共端点叫顶点。

三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断三条线段能否组成三角形，只需检验较短两边之和是否大于最长边。

内角和定理：三角形三个内角的和等于 $180^{\circ }$。由此可得：直角三角形的两个锐角互余。

外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三角形中的三条重要线段：

• 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
• 中线：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段
• 角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段

三角形的三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。三角形具有稳定性，这是它在建筑和工程中广泛使用的原因。

4.2 全等三角形

全等图形：能够完全重合的两个图形。全等图形的形状和大小都相同。

全等三角形：能够完全重合的两个三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

用符号“$\cong$”表示全等时，对应顶点的字母要写在对应位置上。若 $△ABC\cong △DEF$，则 $AB=DE,BC=EF,AC=DF,$ $\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F.$

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。由此还可推出对应边上的高、中线相等，周长与面积相等。

4.3 探索三角形全等的条件

判定两个三角形全等，不需要六个条件全部相等。常用判定方法：

• SSS：三边分别相等的两个三角形全等
• SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
• ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
• AAS：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
• HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

不能判定全等的情况要特别警惕：SSA（两边及其中一边的对角）和 AAA（三个角）都不能判定两个三角形全等。前者可能画出两个不同的三角形，后者只能保证形状相同、大小不一定相同。

证明两个三角形全等，通常按“找已知—定判定—写结论”的顺序书写，每一步都要注明依据。

4.4 利用三角形全等测距离

当两点间的距离无法直接测量时，可以构造一对全等三角形，把不可测的距离转化为可测的距离。常见思路：

1. 在便于测量的位置选取点，构造两个三角形
2. 利用已知相等的边、角，说明两个三角形全等
3. 由全等三角形的对应边相等，得到待测距离

例如测量池塘两端 $A,B$ 的距离，可以在池外取一点 $O$，使 $AO=CO$、$BO=DO$，再说明 $△AOB\cong △COD$，于是 $AB=CD$，把测 $AB$ 转化为测 $CD$。

方案设计的关键是：构造出的全等条件必须真实可测，不能使用无法保证的相等关系。

本章的三条主线结论

1. 三角形边角有边界：两边之和大于第三边，内角和为 $180^{\circ }$，外角等于不相邻两内角之和
2. 全等先找对应：对应顶点、对应边、对应角必须一一匹配
3. 判定看边角位置：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 各有位置要求，SSA 与 AAA 不能判定

最容易被考的是全等判定与内角和计算，最容易丢分的是对应关系写错和误用 SSA。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 三条线段长分别为 $2,3,6$，能组成三角形吗？——不能，$2+3<6$
2. 三角形两个内角分别为 $50^{\circ }$ 和 $60^{\circ }$，第三个角是多少？——$70^{\circ }$
3. 三角形的一个外角为 $110^{\circ }$，与它不相邻的一个内角为 $40^{\circ }$，另一个不相邻内角是多少？——$70^{\circ }$
4. 两边及夹角分别相等，用哪条判定？——SAS
5. 三边分别相等，用哪条判定？——SSS
6. 两边及其中一边的对角分别相等，能判定全等吗？——不能，SSA 不能判定

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 4、6 题出错，说明全等条件的位置要求还没掌握。

学完本章之后

三角形是初中几何的核心：

• 第五章《图形的轴对称》：等腰三角形的性质与判定，要用全等和角平分线知识证明
• 八年级上册《勾股定理》：直角三角形三边关系从定性走向定量
• 八年级下册《平行四边形》：四边形问题常转化为三角形全等解决
• 九年级上册《图形的相似》：从全等走向形状相同、大小不同

把“找对应—定条件—写依据”练成习惯，后面的几何证明只是在更复杂的图形上重复这套动作。