一线三等角模型（K型）：同线等角出相似

求解策略

1. 认等角：找到顶点共线的三个等角（直角最常见）
2. 导角：用平角与内角和推出 $\angle BAC=\angle ECD$
3. 出相似：AA 得 $\triangle ABC \sim \triangle CDE$，列比例求线段
4. 补边出全等：给一组对应边（如 $AC=CE$）即升级为全等

模型结构

$B$、$C$、$D$ 在同一直线上，$AB\perp BD$ 于 $B$，$ED\perp BD$ 于 $D$，且 $\angle ACE=90°$。三个直角的顶点都压在同一条线上，称「一线三垂直」，是一般「一线三等角」的直角特例，又名 K 型。

核心结论与推导

结论：$△ABC\sim △CDE$；若再有 $AC=CE$，则两三角形全等。

证明：由 $B$、$C$、$D$ 共线与 $\angle ACE=90°$，得

$\angle ACB+\angle ECD=180°-\angle ACE=90°.$

又在直角 $△ABC$ 中 $\angle ACB+\angle BAC=90°$，两式相减得 $\angle BAC=\angle ECD$。结合 $\angle ABC=\angle CDE=90°$，AA 得 $△ABC\sim △CDE$。$■$

对一般的等角 $\alpha$，把「$90°$」换成「$180°-\alpha$ 的平角拆分」，推导一字不改。

典例精析

例：如图，$\angle ABC=\angle ACE=\angle EDC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，$CD=8$，求 $DE$。

解：由模型 $△ABC\sim △CDE$，$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$，即 $\frac{3}{8}=\frac{4}{DE}$，解得 $DE=\frac{32}{3}$。

点评：K 型相似的对应关系是「$A\leftrightarrow C$，$B\leftrightarrow D$，$C\leftrightarrow E$」，写比例前先对齐顶点，避免上下颠倒。

常见变式

1. 一般等角版：$\alpha$ 取 $60°$ 或任意角，结论不变，常见于等边三角形背景题。
2. 坐标版：在平面直角坐标系中构造三垂直，把斜率关系翻译成线段比例求点坐标。
3. 正方形版：正方形一边上取点作垂线，常隐含多组 K 型，常与半角模型同题出现。

对比与联系

模型	触发条件	直接产物
一线三等角	三等角顶点共线	相似（补边得全等）
A 字模型	一边的平行线	相似（比例直给）
截长补短模型	线段和差结论	全等（边相等直给）