沙漏模型：梯形里的平行截割相似

Q: 梯形的两腰延长一定交于一点吗？

非平行的两腰延长必交于一点 $P$（平行四边形除外），交点与上下底构成沙漏；这正是用相似研究梯形的入口。

Q: 求截线长度的关键是什么？

找顶距比：$AB:DC=PA:PD$；若给梯形高 $h$、顶到截线距离 $h_1$，则 $AB:DC=h_1:(h_1+h)$。

沙漏模型：梯形里的平行截割相似

沙漏模型研究三角形顶点被平行于底边的直线截割后，截线与底边、两腰构成的大小两个相似三角形：对应边成比例、截线比等于顶距比，是小学奥数与初中相似三角形的衔接模型。

结构：大三角形 $PDC$ 中， $A$ 在腰 $PD$ 上、 $B$ 在腰 $PC$ 上， $AB\parallel DC$ ；小三角形 $PAB$ 在上、梯形 $ABCD$ 在下，整体形似沙漏。

标准形：平行截割： $\triangle PAB\backsim\triangle PDC$ ，对应边比 $=$ 顶距比，面积比 $=$ 顶距比平方。

适用前提与边界条件

截线 $AB$ 必须平行于底边 $DC$ ，两个三角形 $PAB$ 、 $PDC$ 共顶角 $P$
对应关系是 $P\to P$ 、 $A\to D$ 、 $B\to C$ ，写比例时对应边不能错位

求解策略

认平行：确认截线 $AB\parallel DC$
定对应： $P\leftrightarrow P$ ， $A\leftrightarrow D$ ， $B\leftrightarrow C$
写比例： $\frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{DC}=k$
面积：面积比 $=k^2$ ；梯形面积 $=$ 大三角面积 $\times(1-k^2)$

模型结构

如图，大三角形 $P D C$ 中， $A$ 在腰 $P D$ 上、 $B$ 在腰 $P C$ 上， $A B ∥ D C$ 。小三角形 $P A B$ 与梯形 $A B C D$ 上下相接，整图上窄下宽，形似沙漏。

AB 平行 DC，三角形 PAB 相似于三角形 PDC，构成沙漏

核心结论与推导

结论：

$△ P A B ∽ △ P D C, \frac{P A}{P D} = \frac{P B}{P C} = \frac{A B}{D C},$

$\frac{S _{△ P A B}}{S _{△ P D C}} = (\frac{A B}{D C})^{2} .$

推导：因为 $A B ∥ D C$ ，由平行线截两腰得同位角相等： $∠ P A B = ∠ P D C$ ， $∠ P B A = ∠ P C D$ ，又共用顶角 $∠ P$ ，故由「两角分别相等」判定

$△ P A B ∽ △ P D C .$

对应边成比例，比例系数（相似比）为顶距之比；相似三角形面积比等于相似比的平方。 $■$

典例精析

例：如图， $A B ∥ D C$ ， $P A = 4$ ， $A D = 2$ ， $D C = 9$ 。求 $A B$ 的长与大小三角形面积比。

解： $P D = P A + A D = 6$ ，相似比 $k = P A : P D = 4 : 6 = 2 : 3$ ，故

$A B = D C \cdot k = 9 \times \frac{2}{3} = 6,$

$\frac{S _{△ P A B}}{S _{△ P D C}} = k^{2} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} .$

常见变式

梯形补沙漏：梯形两腰延长交于 $P$ ，用相似求上下底与两腰被截的比例。
多层沙漏：多条平行截线，各截线长与各自顶距成正比；截线等距排列时，各截线长依次成等差。
梯形面积拆分：已知小三角与大三角面积比，梯形面积占比 $= 1 - k^{2}$ 。

对比与联系

模型	平行	朝向	比例形式
沙漏模型	$A B ∥ D C$	小三角顶在上	顶距比
A 字模型	截线平行底	小三角套在内	顶距比
鸟头模型	一般不平行	小三角套在内	夹边乘积比
8 字模型	两线相交	对顶朝向	角关系为主

正例与反例

✅ 正例

图中 $AB\parallel DC$ ，则 $\triangle PAB\backsim\triangle PDC$ ， $\frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{DC}$ ，面积比为该比的平方

❌ 反例

$AB$ 不平行于 $DC$ 时两三角形不相似，不能写对应边连比

高频误解与考试易错

把沙漏当鸟头：沙漏是平行截割（相似），鸟头一般情形不平行；图形朝向也不同（沙漏大小三角顶对顶）
面积比忘平方：相似三角形面积比是对应边比（相似比）的平方
截线位置看反： $AB$ 越靠近顶点 $P$ 越短，比例以顶距为准

常见问题

沙漏和鸟头图看起来差不多，区别在哪？

鸟头是小三角形与大三角形同向套在同一顶角内（A 字朝向）；沙漏是小三角形顶在尖上、底边梯形在下，整图形似沙漏，实质是「平行截割」——只要

AB\parallel DC

，两者都是相似，比例写法完全一致。

梯形的两腰延长一定交于一点吗？

非平行的两腰延长必交于一点

P

（平行四边形除外），交点与上下底构成沙漏；这正是用相似研究梯形的入口。

求截线长度的关键是什么？

找顶距比：

AB:DC=PA:PD

；若给梯形高

h

、顶到截线距离

h_1

，则

AB:DC=h_1:(h_1+h)

。

依据与出处

人教版（2024 审定）九年级下册第三十一章《相似》（2027 春起使用）（相似三角形的判定）

沙漏模型：梯形里的平行截割相似

适用前提与边界条件

求解策略

模型结构

核心结论与推导

典例精析

常见变式

对比与联系

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

学习前置

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