双角平分线模型：两线交点的夹角公式

求解策略

1. 辨型：标出平分线是内角还是外角，确定属于两内、一内一外还是两外
2. 分半：被平分的两个底角各记为 $\frac12\angle B$、$\frac12\angle C$
3. 套式：在交点处的小三角形中用内角和，化为只含第三个角的公式
4. 验算：两内结果应大于 $90°$，一内一外应小于 $90°$

模型结构

如图，$△ABC$ 中，$BI$ 平分 $\angle ABC$，$CI$ 平分 $\angle ACB$，两条角平分线交于三角形内一点 $I$。待求的是平分线的夹角 $\angle BIC$ 与第三个角 $\angle A$ 的固定关系。

核心结论与推导

结论（三类夹角公式）：

1. 两内平分线（如图）：$\angle BIC=90°+\frac{1}{2}\angle A$；
2. 一内一外平分线：夹角 $=\frac{1}{2}\angle A$；
3. 两外平分线：夹角 $=90°-\frac{1}{2}\angle A$。

证明（两内情形）：由角平分线定义，

$\angle IBC=\frac{1}{2}\angle B,\angle ICB=\frac{1}{2}\angle C.$

在 $△BIC$ 中由内角和定理，

$$\angle BIC=180°-\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle C=180°-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C).$$

又 $\angle B+\angle C=180°-\angle A$，代入得

$$\angle BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-\angle A)=90°+\frac{1}{2}\angle A.■$$

一内一外、两外的情形同理，分别配合外角定理即可得到对应公式。

典例精析

例：如图，$△ABC$ 中 $\angle A=80°$，$BI$、$CI$ 分别平分 $\angle B$、$\angle C$，交于 $I$。求 $\angle BIC$。

解：直接代入两内平分线夹角公式：

$\angle BIC=90°+\frac{1}{2}\angle A=90°+\frac{1}{2}\times 80°=130°.$

追问：若改为 $BI$ 平分 $\angle B$、$CP$ 平分顶点 $C$ 处的外角，两线交于 $P$，则 $\angle BPC=\frac{1}{2}\angle A=40°$。

常见变式

1. 求第三角型：已知 $\angle BIC=120°$，反解 $\angle A=2(\angle BIC-90°)=60°$。
2. 内心距离型：交点 $I$ 即内心，结合到三边距离相等（内切圆半径）继续求面积或边长。
3. 角平分线与高组合型：同一顶点处的角平分线与高的夹角等于两底角差的一半，可与本模型联动。

对比与联系

类型	平分线组合	夹角	角的范围
两内	内角 $B$、内角 $C$	$90°+\frac{1}{2}\angle A$	钝角
一内一外	内角 $B$、外角 $C$	$\frac{1}{2}\angle A$	锐角
两外	外角 $B$、外角 $C$	$90°-\frac{1}{2}\angle A$	锐角
单角平分线	仅一条角平分线	结合高、中线讨论	视图形而定