内心模型：角平分线交点与内切圆

求解策略

1. 定心：三条角平分线交点即内心 $I$，过 $I$ 向边作垂线段得半径 $r$
2. 求角：用 $\angle BIC=90°+\frac12\angle A$ 等内心角公式
3. 求半径：面积法 $S=sr$，其中 $s=\frac12(a+b+c)$
4. 求切线段：由切线长定理，同一顶点的两切线段相等，列方程组求各段

模型结构

如图，$△ABC$ 的内切圆以 $I$ 为圆心，$I$ 是三条内角平分线的交点，称为三角形的内心。内切圆与边 $BC$ 相切于 $D$，由切线的性质，

$ID\perp BC,ID=r\text{（内切圆半径）}.$

图中三角形为等腰三角形，顶角平分线 $AD$ 三线合一，内心 $I$ 落在 $AD$ 上。

核心结论与推导

结论：

1. 三线共点：三条内角平分线交于内心 $I$，$I$ 到三边距离相等，恒在三角形内部；
2. 内心角公式：$\angle BIC=90°+\frac{1}{2}\angle A$（$\angle AIB$、$\angle CIB$ 同理轮换）；
3. 面积法求半径：记半周长 $s=\frac{a+b+c}{2}$，则 $S_{△ABC}=sr$，即 $r=\frac{S}{s}=\frac{2S}{a+b+c}$；
4. 切点分段：若内切圆分别切 $BC$、$CA$、$AB$ 于 $D$、$E$、$F$，则同一顶点的两切线段相等：

$AF=AE=s-a,BD=BF=s-b,CD=CE=s-c.$

证明（面积法）：连接 $IA$、$IB$、$IC$，把 $△ABC$ 分成三个小三角形 $△IBC$、$△ICA$、$△IAB$，它们的高都是内切圆半径 $r$，故

切点分段由切线长定理直接得到（从圆外一点引圆的两条切线，切线段相等），解 $AF+BF=c$、$BD+CD=a$、$CE+AE=b$ 的三元一次方程组即得各段为 $s-a$、$s-b$、$s-c$。$■$

典例精析

例：如图，等腰三角形三边为 $AB=AC=5$，$BC=6$，求内切圆半径 $r$。

解：底边 $BC$ 上的高为

$AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4,$

故面积 $S=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$，半周长 $s=\frac{5+5+6}{2}=8$。由面积法，

$r=\frac{S}{s}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$

切点 $D$ 恰为底边中点（$BD=CD=3$），$ID=r=\frac{3}{2}$。

常见变式

1. 直角三角形内切圆：$r=\frac{a+b-c}{2}$（$c$ 为斜边），由切线段公式直接化得。
2. 已知半径反求边：给出 $r$ 与部分切线段，用切线长相等还原三边，再求周长或面积。
3. 内心＋双角平分线角模型：内心角公式 $\angle BIC=90°+\frac{1}{2}\angle A$ 与双角平分线模型同源，可联动出题。

对比与联系