梯子模型：滑动中的定长斜边

求解策略

1. 识直角：墙角为直角顶点，梯子为斜边，标出中点 $M$
2. 用中线：$BM=\frac12 AC=\frac12 L$ 恒定，确定轨迹圆的圆心、半径
3. 定弧段：按初、末位置求圆心角，只取实际扫过的弧段
4. 算弧长：$l=\frac{n\pi r}{180}$；端点距离关系用勾股定理 $x^2+y^2=L^2$

模型结构

如图，竖直的墙与水平地面垂直相交于墙角 $B$。虚线 $A^{\prime }{C}^{\prime }$ 是梯子下滑前较竖直的位置，下滑后梯子到实线位置 $AC$：顶端由 $A^{\prime }$ 降到 $A$，底端由 $C^{\prime }$ 外移到 $C$。$M^{\prime }$、$M$ 分别是梯子在下滑前、后两个位置的中点，虚线 $B{M}^{\prime }$、$BM$ 是对应直角三角形斜边上的中线。

核心结论与推导

结论：设梯长为 $L$，滑动过程中中点为 $M$，则

$BM=\frac{1}{2}L\text{（恒定）},$

故 $M$ 的运动轨迹是以墙角 $B$ 为圆心、$\frac{1}{2}L$ 为半径的一段圆弧。

证明：墙与地面垂直，$\angle ABC=90°$，$△ABC$ 是直角三角形，$BM$ 是斜边 $AC$ 上的中线。由直角三角形斜边中线定理，

$BM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}L.$

梯子下滑时梯长 $L$ 不变，故无论滑到哪个位置（如 $M^{\prime }$），都有

$BM=B{M}^{\prime }=\frac{1}{2}L.$

由圆的定义，所有这样的中点 $M$ 在以 $B$ 为圆心、$\frac{1}{2}L$ 为半径的圆上；又因梯子始终在墙与地面之间，实际轨迹只是该圆在第一象限内的一段弧。$■$

若记梯顶离地高度为 $x$、梯脚到墙距离为 $y$，由勾股定理还有滑动约束

$x^2+y^2=L^2.$

典例精析

例：一架长 $4$ m 的梯子斜靠在竖直的墙上，从「竖直贴墙」状态滑倒「水平贴地」状态。求梯子中点 $M$ 经过的路径长。

解：中点轨迹是以墙角 $B$ 为圆心、半径

$r=\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}\times 4=2\text{ m}$

的圆弧。竖直贴墙时中点在墙线上，水平贴地时中点在地面线上，两段位置对应的半径夹角为 $90°$，故路径是四分之一圆弧：

$l=\frac{90\pi \times 2}{180}=\pi \text{ m}.$

常见变式

1. 两端滑动距离型：已知梯长与初末高度（如 $2.5$ m、$2.4$ m、$0.7$ m 勾股数），求底端外滑距离，用 $x^2+y^2=L^2$ 两次计算。
2. 限定弧段型：梯子只在两个倾斜位置之间滑动，圆心角小于 $90°$，按实际夹角算弧长。
3. 非中点固定点型：梯子上距顶端固定比例的点，其轨迹一般是椭圆的一段弧（了解即可），不能套用圆弧结论。

对比与联系